Р 50.1.037-2002

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА

ПРАВИЛА ПРОВЕРКИ СОГЛАСИЯ
ОПЫТНОГОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ
С ТЕОРЕТИЧЕСКИМ

ЧАСТЬ II

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ

ГОССТАНДАРТ РОССИИ

Москва

Предисловие

1 РАЗРАБОТАНЫНовосибирским государственным техническим университетом, доработаны с участиемТехнического комитета по стандартизации ТК 125 «Стандартизация статистическихметодов управления качеством»

ВНЕСЕНЫТехническим комитетом по стандартизации ТК 125 «Стандартизация статистическихметодов управления качеством»

2 ПРИНЯТЫ ИВВЕДЕНЫ В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Госстандарта России от 22 января 2002 г. №24-ст

3 ВВЕДЕНЫ ВПЕРВЫЕ

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Необходимость разработкинастоящих рекомендаций вызвана тем, что в нормативных документах постандартизации, устанавливающих правила проверки опытного распределения стеоретическим, не определены правила применения непараметрических критериевсогласия типа Колмогорова или типа ω² Мизеса при проверкесложных гипотез. В связи с этим использование таких критериев в задачахконтроля качества, исследования надежности и в других приложениях зачастую некорректно,следствие чего - неверные статистические выводы.

Настоящие рекомендации, содной стороны, являются практическим руководством, расширяющим благодаряполученным результатом сферу корректного применения критериев согласия припроверке сложных гипотез, с другой стороны, содержат новые сведения израссматриваемого раздела математической статистики, предлагают опробованнуюметодику исследования статистических закономерностей.

Прикладная статистика

ПРАВИЛА ПРОВЕРКИ СОГЛАСИЯ ОПЫТНОГОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ТЕОРЕТИЧЕСКИМ

Часть II.Непараметрические критерии

Applied statistics. Rules of check of experimental and theoreticaldistribution of the consent.

Part II. Nonparametric goodness-of-fit test

1 Область применения

Настоящие рекомендации,разработанные на основе [1], определяют правила проверки согласияопытного распределения с теоретическим законом распределения непрерывнойслучайной величины.

Настоящие рекомендации могутбыть использованы при разработке правил и рекомендаций по стандартизации,метрологии, сертификации и аккредитации, применяемых Госстандартом России ииспользующих методы статистического анализа.

Настоящие рекомендациипредназначены для использования в качестве руководства по применениюнепараметрических критериев согласия при статистической обработке результатовнаблюдений, измерений, контроля, испытаний продукции.

2 Общие положения

2.1Простые и сложные гипотезы при проверке согласия опытного распределения стеоретическим

Применяя критерии согласиядля проверки соответствия наблюдаемого опытного распределения теоретическомузакону (далее - согласие), следует различать проверку простых и сложныхгипотез.

Простая проверяемая гипотезаимеет вид H₀: F(x)= F(x,θ),где F(x, θ) - функцияраспределения вероятностей, с которой проверяют согласие наблюдаемой выборки, аθ - известное значение параметра (скалярного или векторного).

Сложная проверяемая гипотезаимеет вид H₀: F(x)Î {F(x, θ), θ Î Q}, где Q - область определенияпараметра θ. В этом случае оценку параметра распределения  вычисляют по той жесамой выборке, по которой проверяют согласие. Если оценку  вычисляют по другойвыборке, то гипотеза простая. Далее сложная гипотеза обозначена следующимобразом Н₀: F(x)= F(x,), где  - оценка параметра,вычисляемая по этой же выборке.

В процессе проверки согласияпо выборке вычисляют значение S^* статистики используемого критерия.Затем для того, чтобы сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы Н₀,необходимо знать условное распределение G(S½Н₀) статистики S присправедливости Н₀. И если вероятность

                                               (1)

достаточно большая, по крайней мере P{S >S^*} > α, где g(s½ Н₀) - условная плотность, аα - задаваемый уровень значимости (вероятность ошибки 1-го рода -отклонить справедливую гипотезу Н₀), то принято считать, что нет оснований дляотклонения гипотезы Н₀.

Если в процессе анализавыборки рассматривают некоторую альтернативу Н₁: F(x)= F₁(x,θ), то с ней связываютусловное распределение G(S½Н₁) и вероятность ошибки 2-города β (принять гипотезу Н₀, в то время как верна гипотеза Н₁). Задание значения αдля применяемого критерия согласия однозначно определяет и значение β:

                                                            (2)

                                                           (3)

При этом, чем большемощность критерия 1 - β, тем лучше он различает соответствующие гипотезы.

2.2 Распределениястатистик непараметрических критериев согласия при простых гипотезах

2.2.1Критерий Колмогорова

В случае простых гипотезпредельные распределения статистик рассматриваемых критериев согласияКолмогорова, Смирнова, ω² и Ω² Мизесаизвестны и независимы от вида наблюдаемого закона распределения и, в частности,от его параметров. Считают, что эти критерии являются «свободными отраспределения». Это достоинство предопределяет широкое использование данныхкритериев в различных приложениях.

Предельное распределениестатистики

                                               (4)

где F_n(х) - эмпирическая функция распределения; F(x, θ) - теоретическая функцияраспределения; п - объем выборки, - было получено Колмогоровым в [2].При п →∞ функция распределения статистики  сходитсяравномерно к функции распределения Колмогорова

.                                                (5)

Наиболее часто в критерииКолмогорова (Колмогорова - Смирнова) используют статистику вида [3]

,                                                           (6)

где

,                                                       (7)

,                                             (8)

;                                            (9)

n - объем выборки; х₁,х₂, ..., x_n - упорядоченные по возрастаниювыборочные значения; F(x,θ) -функция закона распределения, согласие с которым проверяют. Распределениевеличины S_K при простой гипотезе впределе подчиняется закону Колмогорова с функцией распределения K(S).

Если для вычисленного повыборке значения статистики S^*_К выполняется неравенство

P{S>S^*_К} = 1 - K(S^*_К) > α,

 то нет оснований дляотклонения гипотезы H₀.

2.2.2 Критерий Смирнова

В критерии Смирноваиспользуют статистику

                                            (10)

илистатистику

,                                          (11)

значения которых вычисляют по эквивалентнымсоотношениям (8), (9).

Реально в критерии обычноиспользуют статистику [3]

,                                                       (12)

которая при простой гипотезе в пределе подчиняетсяраспределению χ² с числом степеней свободы, равным 2.

Гипотезу Н₀не отвергают, если для вычисленного по выборке значения статистики S^*_m

.

2.2.3 Критерии ω²

В критериях типа ω²расстояние между гипотетическим и истинным распределениями рассматривают вквадратичной метрике.

Проверяемая гипотеза Н₀имеет вид [3]

                       (13)

при альтернативной гипотезе

                     (14)

где Е[·] - оператор математическогоожидания; ψ(t) - заданная на отрезке 0 ≤ t≤ 1 неотрицательная функция, относительно которой предполагают, чтоψ(t), t ψ(t), t²·ψ (t)интегрируемы на отрезке 0≤t≤1 [4].Статистику критерия [3] выражают соотношением

                  (15)

где

При выборе ψ(t)≡ 1 для критерия ω² Мизеса получают статистику Крамера -Мизеса - Смирнова вида

                                   (16)

которая при простой гипотезе в пределе подчиняетсязакону с функцией распределения a1(S),имеющей вид [3]

                                                                                                                                     (17)

где  - модифицированныефункции Бесселя,

                         (18)

При выборе ψ(t) ≡ 1/t(1 - t) для критерия Ω² Мизесастатистика приобретает вид (статистика Андерсона - Дарлинга)

   (19)

В пределе эта статистикаподчиняется закону с функцией распределения a2(S),имеющей вид [3]

                                                                                                                                               (20)

Гипотезы о согласии неотвергают, если выполнены неравенства

P{S_ω>S^*_ω}=1 - a1(S^*_ω) > α и P{S_Ω>S^*_Ω}= 1 - a2(S^*_Ω) > α.

2.3 Непараметрическиекритерии согласия при сложных гипотезах

2.3.1Потеря критериями свойства «свободы от распределения»

При проверке сложныхгипотез, когда по той же самой выборке оценивают параметры наблюдаемого законараспределения вероятностей, непараметрические критерии согласия Колмогорова,Смирнова, ω² и Ω² Мизеса теряют свойство«свободы от распределения». В этом случае предельные распределения статистикэтих критериев будут зависеть от закона, которому подчинена наблюдаемаявыборка. Более того, распределения статистик непараметрических критериевсогласия зависят и от используемого метода оценивания параметров. Следует такжеучитывать, что распределения статистик существенно зависят от объема выборки.

Игнорирование того, чтопроверяют сложную гипотезу, неучет различия в сложных гипотезах приводят кнекорректному применению непараметрических критериев согласия в приложениях икак следствие к неверным статистическим выводам. Различия в предельныхраспределениях тех же самых статистик при проверке простых и сложных гипотезнастолько существенны, что пренебрегать этим абсолютно недопустимо [5] - [7].

Точкой отсчета, с которойбыли начаты исследования предельных распределений статистик непараметрическихкритериев согласия при сложных гипотезах, послужила работа [8].

Существует ряд подходов киспользованию непараметрических критериев согласия в этом случае.

При достаточно большойвыборке ее можно разбить на две части и по одной из них оценивать параметры, апо другой проверять согласие. В случае больших объемов выборки такой подходоправдан [9].Но если объем выборки относительно невелик, то способ разбиения ее на две частибудет отражаться и на оценках параметров, и на распределениях статистиккритериев согласия.

Для случая принадлежностивыборки нормальному закону предельные распределения статистики критерия ω²Мизеса при использовании оценок максимального правдоподобия для оцениванияодного или обоих параметров закона были исследованы в [10] аналитическими методами.

В некоторых частных случаяхпроверки сложных гипотез, например при оценивании параметров распределенийэкспоненциального, нормального, экстремальных значений, Вейбулла и некоторыхдругих законов, таблицы процентных точек для предельных распределений статистикнепараметрических критериев были получены с использованием методовстатистического моделирования [11] - [14].

В [15] - [19]для статистик типа Колмогорова - Смирнова и некоторых законов, соответствующихгипотезе H₀, получены формулы для приближенного вычислениявероятностей «согласия» вида P{S>S^*}, где S^* - вычисленное по выборкезначение соответствующей статистики S. Полученные формулы даютдостаточно хорошие приближения при малых значениях соответствующих вероятностей.

В [20], [21] врезультате компьютерного моделирования распределений статистикнепараметрических критериев для ряда законов, соответствующих гипотезе H₀, найдены аналитическипростые модели, которые хорошо аппроксимируют предельные распределениястатистик непараметрических критериев согласия в случае проверки сложныхгипотез и оценивания по выборке параметров методом максимального правдоподобия.В [22],[23]методами статистического моделирования исследовано влияние на распределениястатистик непараметрических критериев согласия при простых и сложных гипотезахобъема наблюдаемой выборки и применяемого метода оценивания параметров. В [24]получены аналитически простые модели предельных распределений статистикнепараметрических критериев для случая, когда при проверке сложных гипотезоценки параметров находят в результате минимизации статистики используемогокритерия.

Построенные таблицыпроцентных точек и предельные распределения статистик непараметрическихкритериев ограничены относительно узким кругом сложных гипотез. Предельныераспределения статистик (или процентные точки распределений) при проверкесложных гипотез получены лишь для порядка 15 законов, в то время как множествовероятностных моделей, используемых в приложениях для описания реальных случайныхвеличин, существенно шире.

2.3.2 Методика компьютерного анализастатистических закономерностей

Очевидно, что бесконечноемножество случайных величин, с которым приходится сталкиваться на практике, неможет быть описано ограниченным подмножеством моделей законов распределений,наиболее часто используемых для описания реальных наблюдений в приложениях.Любой исследователь для конкретной наблюдаемой величины может предложить(построить) свою параметрическую модель закона, наиболее адекватно, с его точкизрения, описывающего эту случайную величину. После оценки по данной выборкепараметров модели возникает необходимость проверки сложной гипотезы обадекватности выборочных наблюдений и построенного закона с использованиемкритериев согласия.

Множество всех сложныхгипотез бесконечно и заранее иметь распределения G(S½H₀) для любой сложной гипотезыH₀ практически невозможно. Именно поэтому найденныеразличным образом предельные распределения статистик непараметрическихкритериев согласия представлены в литературных источниках лишь дляограниченного ряда распределений, наиболее часто используемых в приложениях,особенно в задачах контроля качества и исследования надежности. Что же делать,если для описания выборки используется закон распределения вероятностей F(x,θ) инайдена оценка его параметра , а для проверки сложной гипотезы H₀: F(x)Î {F(x, θ), θ Î Q}, исследователю неизвестно распределение G(S½H₀) статистикисоответствующего критерия согласия?

Наиболее целесообразновоспользоваться методикой компьютерного анализа статистических закономерностей,хорошо зарекомендовавшей себя при моделировании распределений статистиккритериев [20]- [25].

Для этого следует всоответствии с законом F(x,) смоделировать N выборок того же объема n,что и выборка, для которой необходимо проверить гипотезу H₀: F(x)Î {F(x, θ), θ Î Q}. Далее для каждой из N выборок вычислитьоценки тех же параметров закона, а затем значение статистики S соответствующегокритерия согласия. В результате будет получена выборка значений статистики S₁ S₂, ..., S_N с законом распределения G(S_n½H₀) для проверяемой гипотезы H₀. По этой выборке придостаточно большом N можно построить достаточно гладкую эмпирическуюфункцию распределения G_N(S_n½H₀), которой можнонепосредственно воспользоваться для вывода о том, следует ли принимать гипотезуH₀. При необходимости, можно по G_N(S_n½H₀) построить приближеннуюаналитическую модель, аппроксимирующую G_N(S_n½H₀), и тогда уже, опираясь наэту модель, принимать решение относительно проверяемой гипотезы.

Как показывает практика,хорошей аналитической моделью для G_N(S_n½H₀) часто оказывается один изследующих четырех законов: логарифмически нормальный, гамма-распределение,распределение Su-Джонсона или распределение Sl-Джонсона [21],[24].Во всяком случае, всегда можно, опираясь на ограниченное множество законовраспределения, построить модель в виде смеси законов [26], [27].

Реализация такой процедурыкомпьютерного анализа распределения статистики не содержит ни принципиальных,ни практических трудностей. Уровень вычислительной техники позволяет оченьбыстро получить результаты моделирования, а реализация алгоритма под силуинженеру, владеющему навыками программирования.

В то же время такая методикаанализа распределений статистик имеет и недостатки, связанные с ограниченнойточностью построения закона распределения статистики и возможным влияниемкачества используемого датчика псевдослучайных чисел [28]. Поэтому при еереализации обязательно следует контролировать качество датчиков, генерирующихчисла в соответствии с требуемыми законами «наблюдаемых» случайных величин.Современные системы программирования включают в себя достаточно хорошиедатчики, генерирующие псевдослучайные числа, распределенные по равномерномузакону. При необходимости построения собственного датчика можно воспользоватьсяалгоритмами моделирования, изложенными в [29].

Точность построения законараспределения статистики на основании G_N(S_n½H₀), конечно, можноповышать, увеличивая N. По оценкам [20] - [24],отклонения смоделированного распределения от теоретического при N= 2000обычно имеют порядок ≈ ± 0,015. Если поставить такую цель, то,аппроксимируя эмпирические распределения теоретическими законами и усредняя ихпо реализациям (при многократном моделировании), можно, при необходимости,добиться более высокой точности построения закона распределения исследуемойстатистики. Опираясь на построенное распределение G_N(S_n½H₀), можно достаточно точнооценить значение P{S>S^*}, но знамения процентных точек, полученные по G_N(S_n½H₀), могут оказаться ссущественной погрешностью. На практике же, проверяя различные гипотезы, чащесравнивают полученное значение статистики S^* с соответствующейпроцентной точкой предельного распределения, что является менее информативнымдля принятия решения. Более предпочтительно принимать решение по достигнутомууровню значимости P{S>S^*}.

Во всех приводимых далеепримерах, иллюстрирующих распределения статистик критериев G_N(S_n½H_i), , в зависимости от различных факторов с применениемизложенной методики число моделируемых выборок N принимали равным 2000, а ихобъем п, кроме особо отмеченных случаев, равным 1000.

2.3.3 Факторы, влияющиена распределения статистик критериев при проверке сложных гипотез

Распределения статистикнепараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез зависят отхарактера этой сложной гипотезы. На закон распределения статистики G(S½H₀) влияют следующие факторы,определяющие «сложность» гипотезы:

- вид наблюдаемого законараспределения F(х, θ), соответствующего истиннойгипотезе H₀;

- тип оцениваемого параметраи число оцениваемых параметров;

- в некоторых ситуацияхконкретное значение параметра (например, в случае гамма-распределения);

- используемый методоценивания параметров.

При малых объемах выборки праспределение G(S_n½H₀) зависит от п. Однакосущественная зависимость распределения статистики от п наблюдаетсятолько при небольших объемах выборки. Уже при n ≥ 15 - 20распределение G(S_n½H₀) достаточно близко кпредельному G(S½H₀) и зависимостью от п можнопренебречь.

В случае задания конкретнойальтернативы [конкурирующей гипотезы H₁ которой соответствуетраспределение F₁(x,θ)],функция распределения статистики G(S½H₁) также зависит от всехперечисленных факторов. Но в отличие от G(S½H₀) распределение статистики G(S½H₁) при справедливой гипотезе H₁ очень сильно зависит отобъема выборки п. Именно благодаря этому с ростом п повышаетсяспособность критериев различать гипотезы и возрастает мощность критериев.

2.3.4 Влияние объемавыборки на распределения статистик непараметрических критериев при простых исложных гипотезах

В случае проверки простыхгипотез предельными распределениями статистик критериев Колмогорова и Смирноваможно пользоваться при п > 20 [3]. Исследование методамистатистического моделирования зависимости распределений статистик всехрассматриваемых здесь непараметрических критериев от объема выборки припроверке различных как простых, так и сложных гипотез показывает, что это справедливово всех случаях.

Например, рисунок 1иллюстрирует, как при увеличении объема выборки (п = 5, 10, 20) меняется распределение G(S_n½H₀) статистики Колмогорова S_Kв случае проверки простой гипотезы о принадлежности выборки нормальномузакону. На этом рисунке отражено также предельное распределение статистики -функция распределения Колмогорова K(S). Эмпирическиераспределения G_N(S_n½H₀) при больших п практическисливаются с K(S), и на рисунке онине показаны. Как видно, при малых п распределение существенно отличаетсяот предельного, но уже при п ≥ 15 - 20 ошибка при вычислениивероятности «согласия» P{S>S^*} оказывается достаточно малой.

Рисунок 1 - Зависимость от праспределений G(S_n½H₀) статистики S_KКолмогорова при простой гипотезе (H₀ - нормальноераспределение): п = 5, 10, 20. K(S) - функцияпредельного распределения Колмогорова

Рисунок 2 - Зависимость от nраспределений G(S_n½H₀) статистики S_KКолмогорова при сложной гипотезе (H₀ - нормальное распределение,ОМП): п = 5, 10, 20, 1000

Та же самая картинанаблюдается в случае проверки сложных гипотез о согласии. На рисунке 2 при п= 5, 10, 20, 1000 представлены распределения G(S_n½H₀) статистики S_Kв случае проверки аналогичной, но уже сложной, гипотезы о нормальности,когда по выборке вычисляют оценки максимального правдоподобия (ОМП) параметровнормального закона.

При малых п наибольшиеотклонения от предельных распределений наблюдаются на «хвостах». И при простых,и при сложных гипотезах с ростом п распределения G(S_n½H₀) равномерно сходятся кпредельному. Но если в случае простых гипотез с ростом п увеличиваетсявероятность больших значений статистик, то в случае сложных возрастаютвероятности и больших, и малых значений статистик. Последнее замечаниесправедливо для распределений статистик S_K, S_ω, S_Ω.

Рисунок 3 иллюстрирует изменения с ростом п распределений G(S_n½H₀) статистики Крамера -Мизеса - Смирнова S_ω при проверке сложной гипотезы онормальности и использовании при оценивании параметров метода максимальногоправдоподобия. Чтобы подчеркнуть разницу в распределениях статистик при простыхи сложных гипотезах, на указанном рисунке приведены G(S_n½H₀) для п = 5, 20, 1000и a1(S) - предельная функция распределения статистики S_ω при проверке простойгипотезы.

Рисунок 3 - Зависимость от праспределений G(S_n½H₀) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирновапри сложной гипотезе (H₀ - нормальное распределение,ОМП): n = 5, 20, 1000

Таким образом, распределенияG(S_n½H₀) статистикнепараметрических критериев при простых и сложных гипотезах с ростом п оченьбыстро сходятся к предельным, и уже при п ≥ 15 - 20 можно, неопасаясь больших ошибок, пользоваться этими предельными законами при анализеданных.

Однако последний вывод неозначает, что при малых объемах выборок с помощью этих критериев можно успешноразличать близкие гипотезы. Для надежного различения близких законовраспределения, в частности с помощью критерия согласия Колмогорова, можетпотребоваться выборка достаточно большого объема [30].

2.3.5 Влияние объемавыборки на мощность непараметрических критериев при простых и сложных гипотезах

Способность различатьблизкие гипотезы зависит от того, насколько сильно различаются распределения G(S_n½H₀) и G(S_n½H₁).

Предложены к рассмотрениюдве близкие гипотезы: H₀ - нормальное распределениес плотностью  и параметрами μ= 0, σ = 1; H₁ - логистическое с такими же параметрами μ =0, σ = 1 и плотностью . О близости этих законов распределения можно судить порисунку 4,на котором представлены их функции распределения. Рисунок 5иллюстрирует зависимость от п распределений G(S_n½H₁) статистики S_KКолмогорова при проверке простой (п= 20, 100, 500, 1000), а рисунок 6 - при проверке сложнойгипотезы H₀ (при использовании ОМП).

Рисунок 4 - Функциираспределения нормального и логистического законов

Рисунок 5 - Зависимость от праспределений G(S_n½H₁) статистики S_KКолмогорова при простой гипотезе (H₀ - нормальное распределение, H₁ - логистическое): п = 20,100, 500, 1000

Рисунок 6 - Зависимость от праспределений G(S_n½H₁) статистики S_KКолмогорова при сложной гипотезе (H₀ - нормальное распределение,H₁ - логистическое, ОМП): п = 20, 100, 500, 1000

На рисунках 7, 8 длясравнения представлены распределения G(S_n½H₁) статистики S_ω при проверке простой(рисунок 7)и сложной гипотезы (рисунок 8) для тех же самых альтернатив H₀ и H₁. Для данной парыальтернатив в случае проверки сложной гипотезы критерий согласия типа ω²Крамера - Мизеса - Смирнова обладает несколько большей мощностью при различенииблизких гипотез, чем критерий типа Колмогорова, а в случае простых - наоборот.

Рисунок 7 - Зависимость от п распределений G(S_n½H₁) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирновапри простой гипотезе (H₀ - нормальное распределение, H₁ - логистическое): п =20, 100, 500, 1000

Рисунок 8 - Зависимость от праспределений G(S_n½H₁) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирновапри сложной гипотезе (H₀ - нормальное распределение,H₁ - логистическое, ОМП): п = 20, 100, 500, 1000

С точки зрения практическогоиспользования критериев важны два момента, которые подтверждены результатамиисследований и хорошо иллюстрированы рисунками 5 - 8. Во-первых, очевидно, что прималых выборках пытаться различать с помощью непараметрических критериевсогласия близкие гипотезы (особенно простые) абсолютно бесполезно. Во-вторых,мощность непараметрических критериев при проверке сложных гипотез при тех жеобъемах выборок п всегда существенно выше, чем при проверке простых.

При проверке простых гипотезнепараметрические критерии типа Колмогорова, Смирнова, ω² и Ω² Мизеса уступают по мощностикритериям типа χ², особенно, если в последних используетсяасимптотически оптимальное группирование [31] - [34].Но при проверке сложных гипотез непараметрические критерии оказываются болеемощными. Для того чтобы воспользоваться их преимуществами, надо только знатьраспределение G(S_n½H₀) при проверяемой сложнойгипотезе.

2.3.6 Влияние методаоценивания на распределения статистик непараметрических критериев при сложныхгипотезах

Распределения статистиккритериев согласия существенно зависят от метода оценивания параметров, то естькаждому типу оценок при конкретной сложной проверяемой гипотезе соответствуетсвое предельное распределение G(S_n½H₀) статистики. В данномслучае по вполне очевидным причинам при проверке сложных гипотез сравнимрезультаты использования ОМП и МD-оценок. Приминимизации некоторого расстояния между эмпирической и теоретической функциямираспределения получаются МD-оценки. Оценкимаксимального правдоподобия предпочтительны благодаря своим асимптотическимсвойствам [35],[36],а в случае MD-оценок может минимизироваться значение статистики,используемой в критерии.

ОМП вычисляют в результатемаксимизации по θ функции правдоподобия

                                                      (21)

или ее логарифма

.                                             (22)

Чаще всего в случаескалярного параметра ОМП определяют как решение уравнения, а в случаевекторного параметра - как решение системы уравнений правдоподобия вида

                                 (23)

где m - размерность векторапараметров θ. В общем случае эта система нелинейна и, за редкимисключением, решаема только численно.

При практическомиспользовании критериев необходимо иметь в виду следующее. В данном случае, каки в [20]- [24],при построении распределений статистик и исследовании их зависимости от методаоценивания ОМП вычисляли как решение системы (23). Если использовать грубыеприближения ОМП, то это соответственно отражается на распределениях статистик исвойствах критериев.

При вычислении МD-оценокминимизируется соответствующее расстояние между эмпирическим и теоретическимраспределениями. При использовании статистики Колмогорова S_Kв качестве оценки вектора параметров θ выбирают значения,минимизирующие эту статистику:

                                                          (24)

(MD-оценки S_K). Аналогично, при использовании статистики S_ω минимизируется по θстатистика S_ω:

                                                          (25)

(MD-оценки S_ω). При использовании статистики S_Ω -

                                                          (26)

(MD-оценки S_Ω).

Вид используемой оценкиоказывает существенное влияние на распределения статистик критериев согласия.Степень влияния метода оценивания на распределение статистики иллюстрируетрисунок 9,на котором показаны полученные в результате моделирования плотностираспределения g(S_n½H₀) статистики критериятипа Колмогорова S_Kпри вычислении оценокпараметра сдвига нормального распределения тремя различными методами:минимизацией статистики S_K, минимизацией статистики S_ω и методом максимальногоправдоподобия. Функция плотности распределения Колмогорова обозначена нарисунке как k (S).

Рисунок 9 - Плотностираспределения g(S_n½H₀) статистики S_Kпри проверке сложной гипотезы (H₀ - нормальный закон,оценивание сдвига с использованием 1 - МD-оценокS_K; 2 - МD-оценок S_ω; 3 - ОМП). k (S) - плотностьраспределения Колмогорова

При использовании ОМПраспределения статистик сильно зависят от соответствующего проверяемой гипотезеH₀ закона F(x,θ). Нарисунке 10приведены эмпирические распределения G(S_n½H₀) статистики Колмогорова S_K, когда при проверке сложной гипотезы два параметра закона,соответствующего гипотезе H₀, оценивали сиспользованием метода максимального правдоподобия. При этом на рисунке показаныраспределения статистики G(S_n½H₀), когда гипотеза H₀ соответствует законам:нормальному, логистическому, Лапласа с плотностью, распределению наименьшего значения с плотностью , распределению Коши с плотностью .

Рисунок 10 - Распределения G(S_n½H₀) статистики Колмогорова S_Kпри оценивании двух параметров закона, соответствующего гипотезе H₀ (здесь и далее:
1 - нормального; 2 - логистического; 3 - Лапласа; 4- наименьшего значения; 5 - Коши), при использовании ОМП. K(S) - функция распределенияКолмогорова

При использовании МD-оценок, минимизирующихстатистику применяемого критерия согласия, влияние закона F(х, θ), соответствующего проверяемой гипотезе H₀, проявляется менеезначительно. На рисунке 11 показаны распределения G(S_n½H₀) той же статистики S_Kпри проверке тех же гипотез, но с использованием MD-оценок параметров,полученных минимизацией по параметрам статистики S_K.

На рисунке 12приведены распределения статистики S_ω для аналогичных гипотез H₀ при использовании ОМП, а нарисунке 13- при использовании MD-оценок, минимизирующих попараметрам статистику S_ω.

При использовании МD-оценок,минимизирующих по параметрам статистику S_ω, эмпирические распределениясмоделированных распределений G(S_n½H₀) практически совпадают длязаконов нормального, логистического, Лапласа, наименьшего значения,максимального значения с плотностью , распределения Вейбулла с плотностью ихорошо аппроксимируются логарифмически нормальным законом с плотностью и параметрами μ = -3,2702; σ = 0,4719.

Рисунок 11 - Распределения G(S_n½H₀) статистики Колмогорова S_Kпри оценивании двух параметров закона, соответствующего гипотезе H₀, при использовании MD-оценокS_K. K(S) - функцияраспределения Колмогорова, предельная при простой гипотезе

Рисунок 12 - Распределения G(S_n½H₀) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирновапри оценивании двух параметров закона, соответствующего гипотезе H₀, при использовании ОМП. a1(S)- функция распределения, предельная при простой гипотезе

Рисунок 13 - Распределения G(S_n½H₀) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирновапри оценивании двух параметров закона, соответствующего гипотезе H₀, при МD-оценкахS_ω

Распределения статистиккритериев согласия при использовании MD-оценок (как и в случаеиспользования ОМП) существенно зависят от того, какой параметр оценивали. Нарисунке 14показаны распределения G(S_n½H₀) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирновапри использовании MD-оценок S_ω и оценивании масштабногопараметра закона, соответствующего гипотезе H₀. На рисунке 15представлены аналогичные распределения статистик, но при оценивании для тех жераспределений параметра сдвига. Распределения статистик в случае оцениванияпараметра сдвига распределения максимального значения и масштабного параметрараспределения Вейбулла совпадают с распределением статистики для распределенияминимального значения.

Если обратить внимание нарисунок 16,на котором отображены распределения G(S_n½H₀) статистики S_ω при проверке согласия сраспределениями экспоненциальным , полунормальным , Рэлея , Максвелла , модуля m - мерного (т = 5) нормального вектора  при оценивании масштабного параметрасоответствующего закона с использованием MD-оценок S_ω, то можно заметить, чтораспределения статистик близки к приведенным на рисунке 15. Распределениястатистик, показанные на рисунке 16, например, достаточно хорошо аппроксимируютсялогарифмически нормальным законом с параметрами μ = -2,8484; σ =0,5669.

Рисунок 14 - Распределения G(S_n½H₀) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирновапри оценивании масштабного параметра закона, соответствующего гипотезе Н₀,(6 - максимальногозначения; 7 - Вейбулла, параметр формы), при использовании MD-оценокS_ω

Рисунок 15 - Распределения G(S_n½H₀) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирнова при оцениваниипараметра сдвига, соответствующего гипотезе H₀, при МD-оценках S_ω

Рисунок 16 - Распределения G(S_n½H₀) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирновапри оценивании масштабного параметра закона, соответствующего гипотезе H₀, (1- экспоненциального;2 - полунормального; 3 - Рэлея; 4 - Максвелла; 5 -модуля 5-мерного нормального вектора), при использовании МD-оценокS_ω

Таким образом, применяянепараметрические критерии согласия, следует непременно учитывать используемыйметод оценивания. При этом в случае метода максимального правдоподобияраспределения статистик G(S_n½H₀) очень сильно зависят отзакона, соответствующего гипотезе H₀. Разброс распределений G(S_n½H₀) при использовании МD-оценок,минимизирующих статистику критерия, зависит от закона F(х, θ), соответствующего гипотезе H₀, в существенно меньшейстепени.

2.3.7 Метод оценивания имощность непараметрических критериев согласия

При использовании МD-оценок,минимизирующих статистику критерия, эмпирические распределения G(S_n½H₀), соответствующиеразличным гипотезам H₀, имеют минимальный разброс,что означает определенную «свободу от распределения» для рассматриваемых критериеви предполагает применение MD-оценок при проверкесложных гипотез. Но если исследовать мощность рассматриваемых критериев приразличных методах оценивания, то оказывается, что максимальную мощностьнепараметрические критерии при близких альтернативах имеют в случае оцениванияпараметров методом максимального правдоподобия.

Способность применяемогокритерия различать альтернативы H₀ и H₁ зависит от его мощности 1 -β при заданном уровне значимости а, а именно от того, насколькосущественно отличаются распределения статистики G(S_n½H₀) и G(S_n½H₁). При одинаковых объемахвыборок п отличие распределений G(S_n½H₀) и G(S_n½H₁) в случае использования ОМПболее значительно, а следовательно, критерий оказывается более мощным, чем вслучае использования MD-оценок.

Например, рисунок 17иллюстрирует зависимость от п распределений G(S_n½H₁) статистики S_K Колмогорова при проверке сложной гипотезы при паре альтернатив H₀ - нормальное распределение,H₁ - логистическое и использовании MD-оценокS_K, а рисунок 18 - зависимость от п распределенийG(S_n½H₁) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирнова при использовании MD-оценокS_ω.

Сравнивая рисунок 17 срисунком 6,а рисунок 18с рисунком 8,можно убедиться, что в случае использования метода максимального правдоподобиямощность критериев типа Колмогорова и типа ω² Мизеса многовыше, чем при использовании соответствующих MD-оценок. Аналогичная картинасправедлива и для критерия типа Ω² Мизеса со статистикой S_Ω Андерсона - Дарлинга.

Рисунок 17 - Зависимость от п распределений G(S_n½H₁) статистики S_KКолмогорова при сложной гипотезе (Н₀ -нормальное распределение; H₁ - логистическое; MD-оценкиS_K): n = 20, 100, 500, 1000

Рисунок 18 - Зависимость от праспределений G(S_n½H₁) статистики S_ω Крамера - Мизеса - Смирновапри сложной гипотезе (H₀ - нормальное распределение;H₁ - логистическое; MD-оценки S_ω): п = 100, 500, 1000

Для того чтобы сравнить помощности непараметрические критерии согласия для рассматриваемой пары близкихгипотез H₀ и H₁ при использовании ОМП, нарисунке 19приведены распределения G(S_n½H₀) и G(S_n½H₁) при п = 20, 100,500, 1000 для статистики S_Ω Андерсона - Дарлинга, а нарисунке 20- для статистики S_m Смирнова.

Рисунок 19 - Зависимость от nраспределений G(S_n½H₁) статистики S_Ω Андерсона - Дарлинга присложной гипотезе (H₀ - нормальное распределение;H₁ - логистическое; ОМП): п = 20, 100, 500,1000

Рисунок 20 - Зависимость от праспределений G(S_n½H₁) статистики S_m Смирнова при сложнойгипотезе (H₀ - нормальное распределение; H₁ - логистическое; ОМП): n =20, 100, 500, 1000

Анализируя распределения нарисунках 6,8, 19 и 20 можно заметить, что наиболее мощным для даннойпары гипотез является критерий Ω²со статистикой S_Ω Андерсона - Дарлинга, затемкритерий ω² со статистикой S_ω Крамера - Мизеса - Смирнова,далее критерий Колмогорова со статистикой S_Kнапоследнем месте критерий Смирнова со статистикой S_m.Данноенаблюдение о порядке предпочтения критериев хорошо согласуется с опытом ихприменения.

Почему мощностьрассматриваемых критериев при проверке близких гипотез в случае ОМП выше, чемпри MD-оценках, достаточно логично объясняет следующая версия.Использование MD-оценок, минимизирующих статистику критерия,приводит к распределению G(S½H₀) с меньшим параметроммасштаба (к более крутой функции распределения), чем в случае ОМП. Но с другойстороны, MD-оценки в отличие от ОМП являются робастными, онименее чувствительны к малым отклонениям выборки от предполагаемого законараспределения. Поэтому функция распределения G(S_n½H₁) оказывается ещеболее крутой по отношению к аналогичному распределению при использовании ОМП.

2.3.8 Зависимостьраспределений статистик непараметрических критериев от конкретных значенийпараметра

В некоторых случаяхпредельные распределения G(S½H₀) рассматриваемых статистикпри проверке сложных гипотез зависят от конкретных значений параметровраспределения, с которым проверяют согласие. В частности, распределения G(S½H₀) непараметрическихкритериев согласия в случае проверки согласия с гамма-распределением сплотностью

зависят от его параметра формы θ₀.Для иллюстрации приведены лишь распределения G(S½H₀) статистики Колмогорова S_K. Нарисунке 21показаны распределения статистики при оценивании по выборке параметра формы, нарисунке 22- масштабного параметра, на рисунке 23 - двух параметровраспределения. На этих рисунках цифрами по порядку помечены функциираспределения статистики: 1 - при θ₀ = 0,5; 2 - приθ₀ = 1,0; 3 - при θ₀ = 2,0; 4 -при θ₀ = 3,0; 5 - при θ₀ = 5,0. Длясравнения приведена функция распределения Колмогорова K(S).

С ростом θ₀предельные распределения статистик сходятся к предельным распределениямстатистик для выборок из нормального закона. При значениях θ₀> 5 эмпирические распределения статистик при оценивании двух параметровпрактически совпадают и хорошо согласуются с распределением соответствующейстатистики для нормального закона.

Общая картина принципиальносохраняется и для распределений других непараметрических статистик.

Рисунок 21 - Функциираспределения статистики S_KКолмогорова при вычисленииОМП параметра формы гамма-распределения. K(S) - функция распределенияКолмогорова

Рисунок 22 - Функциираспределения статистики S_KКолмогорова при вычисленииОМП масштабного параметра гамма-распределения. K(S) - функцияраспределения Колмогорова

Рисунок 23 - Функциираспределения статистики S_KКолмогорова при оцениванииметодом максимального правдоподобия одновременно двух параметровгамма-распределения. K(S) - функцияраспределения Колмогорова

2.3.9Выводы

На основании изложенноговыше можно сформулировать следующие выводы и дать рекомендации.

Распределения статистикнепараметрических критериев согласия при простых и сложных гипотезах с ростом пбыстро сходятся к предельным законам. Уже при п > 20, неопасаясь больших ошибок, можно пользоваться этими предельными законами длявычисления достигаемого уровня значимости P{S>S^*}.

В то же время надо иметь ввиду, что различать близкие гипотезы (особенно простые) при малых выборках спомощью непараметрических критериев согласия невозможно.

Мощность непараметрическихкритериев при проверке сложных гипотез при тех же объемах выборок п всегдасущественно выше, чем при проверке простых.

При проверке сложных гипотезраспределения статистик G(S_n½H₀) непараметрическихкритериев зависят не только от закона распределения F(х,θ),соответствующего гипотезе H₀, числа и вида оцениваемыхпараметров (иногда конкретного значения параметра), но и от используемогометода оценивания параметров. Ни в коем случае нельзя, оценивая параметры однимметодом, использовать (предельный) закон распределения статистики, построенныйдля другого метода оценивания.

В случае применения MD-оценок,минимизирующих статистику используемого критерия согласия, распределениястатистик непараметрических критериев в меньшей степени подвержены зависимостиот вида F(x,θ),соответствующего гипотезе Н₀. Однако наиболее мощнымиэти критерии оказываются при использовании ОМП.

В случае простых гипотез ипри близких альтернативах непараметрические критерии согласия уступают помощности критериям типа χ². В случае проверки сложных гипотез -преимущество за непараметрическими критериями согласия. В то же времярекомендуется при проверке гипотез о согласии не останавливаться наиспользовании одного из критериев согласия, так как каждый из критериевпо-разному улавливает различные отклонения эмпирического распределения оттеоретического.

Изложенная опробованнаяметодика моделирования распределений статистик при корректном ее примененииможет быть рекомендована для построения статистических закономерностей вситуации, когда аналитическими методами не удается решить задачу.

Применение при проверкесложных гипотез распределений статистик критериев согласия, представленных внастоящих рекомендациях, правомерно при использовании ОМП или MD-оценоксоответственно. Некорректно использование оценок по методу моментов (заисключением тех ситуаций, когда оценки по методу моментов совпадают с ОМП),использование различных оценок по наблюдениям, сгруппированным в интервалы.Некорректно вычисление значений статистик непараметрических критериев согласияпо группированным наблюдениям.

3 Порядок проверкигипотез о согласии

3.1 Порядок проверкипростой гипотезы о согласии

При проверке согласияопытного распределения с теоретическим распределением случайной величины Xдействуют следующим образом.

а) Формулируют проверяемуюгипотезу, выбирая теоретическое распределение случайной величины, согласиекоторого с опытным распределением этой величины следует проверить.

б) Из совокупности отбираютслучайную выборку объема п. Полученные результаты наблюдений располагаютв порядке их возрастания, так что в распоряжении имеют упорядоченную выборкузначений

x₁≤ х₂ ≤ ... ≤ х_n.

в) В соответствии свыбранным критерием проверки вычисляют значение статистики S^* критерия [по формулам (6), (12), (15) или(16)].

г) В соответствии свыбранным критерием проверки вычисляют значение

P{S>S^*}где G(S½H₀) - распределение статистикикритерия при справедливости гипотезы H₀. Если P{S>S^*} > α, где α - задаваемый уровень значимости, тонет оснований для отклонения проверяемой гипотезы. В противном случаепроверяемую гипотезу Н₀ отвергают.

Можно вычисленное значение статистикиS^* сравнить с критическим значением S_α, определяемым из условия. Гипотезу о согласии отвергают, если значениестатистики попадает в критическую область, т.е. при S^*>S_α.

3.1.1 Критерий Колмогорова при простойгипотезе

Порядок проверки простойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим - в соответствии с 3.1,перечисления а) - г).

В случае выбранного критерияКолмогорова:

а) Значение статистикиКолмогорова S_Kвычисляют по формуле (6) наосновании формул (7) - (9).

б) Значение вероятности P{S>S^*_K} = 1 - K(S^*_K) вычисляют по функциираспределения Колмогорова [формула (5)] или берут из таблицы А.1.

в) Критические значениякритерия S_α призаданном α могут быть взяты из таблицы А.2.

3.1.2 Критерий Смирнова при простой гипотезе

Порядок проверки простойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим - в соответствии с 3.1,перечисления а) - г).

В случае выбранного критерияСмирнова:

а) Значение статистикиСмирнова S_m вычисляютпо формуле (12)на основании формул (8), (9).

б) Значение вероятности P{S_m>S^*_m}= вычисляют по функции χ₂² -распределения (с двумя степенями свободы).

в) Гипотезу H₀ не отвергают, если длявычисленного по выборке значения статистики S^*_m

P{S_m>S^*_m} = .

3.1.3 Критерий ω² Крамера -Мизеса - Смирнова при простой гипотезе

Порядок проверки простойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим - в соответствии с 3.1,перечисленная а) - г).

В случае выбранного критерияКрамера - Мизеса - Смирнова:

а) Значение статистикиКрамера - Мизеса - Смирнова S_ω вычисляют по формуле (16).

б) Значение вероятности P{S_ω>S^*_ω} = 1 - a1(S)вычисляют по функции распределения a1(S)(17)или берут из таблицы А.3.

в) Критические значениякритерия S_α призаданном α могут быть взяты из таблицы А.4.

г) Гипотезу H₀ не отвергают, если длявычисленного по выборке значения статистики S^*_ω

P{Sω>S*ω} = 1 - a1(S*ω) >α.

3.1.4 Критерий Ω² Андерсона -Дарлинга при простой гипотезе

Порядок проверки простойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим - в соответствии с 3.1,перечисления а) - г).

В случае выбранного критерияΩ² Андерсона - Дарлинга:

а) Значение статистикиАндерсона - Дарлинга S_Ω вычисляют по формуле (19).

б) Значение вероятности P{S_Ω>S^*_Ω} = 1 - a2(S_Ω) > α вычисляют по функциираспределения a2(S) (20) или берут изтаблицы А.5.

в) Критические значениякритерия S_α призаданном α могут быть взяты из таблицы А.6.

г) Гипотезу H₀ не отвергают, если длявычисленного по выборке значения статистики S^*_Ω

P{S_Ω>S^*_Ω}= 1 - a2(S^*_Ω)> α.

3.2 Порядок проверки сложной гипотезы

При проверке согласияопытного распределения с теоретическим распределением случайной величины X действуютследующим образом.

а) Формулируют проверяемуюгипотезу, выбирая теоретическое распределение F(х,θ)случайной величины, согласие которого с опытным распределением этой величиныследует проверить. Перечень теоретических распределений, для которых возможнапроверка сложных гипотез с использованием данных рекомендаций, приведенв 3.2.7.

б) Из совокупности отбираютслучайную выборку объема п. Полученные результаты наблюдений располагаютв порядке их возрастания, так что в распоряжении имеют упорядоченную выборкузначений

x₁ ≤ х₂≤ ... ≤ х_n.

в) По выборке вычисляютоценки параметров распределения F(х,θ),выбранного в соответствии с перечислением а) [оценки максимальногоправдоподобия на основании формул (21) - (23) или MD-оценки,минимизирующие статистику критерия на основании, соответственно, формул (24), (25) или (26)].

г) В соответствии свыбранным критерием проверки вычисляют значение статистики S^* критерия[по формулам (6),(12),(15)или (16)].

д) В соответствии свыбранным критерием проверки, теоретическим распределением F(x, θ), оцененнымпараметром или параметрами, используемым методом оценивания определяютраспределение статистики критерия G(S½H₀) при справедливостигипотезы H₀.

е) На основании выбранного всоответствии с перечислением д) распределения G(S½H₀) вычисляют значение

P{S>S^*} = .

ж) Если P{S>S^*}>α, гдеα - задаваемый уровень значимости, то нет оснований для отклоненияпроверяемой гипотезы. В противном случае проверяемую гипотезу H₀ отвергают. Можновычисленное значение статистики S^* сравнить с критическимзначением S_α, определяемым из условияα =. Гипотезу о согласии не отвергают, если S^* < S_α.

Если закон распределения,относительно которого проверяют гипотезу о согласии с использованиемнепараметрического критерия, не входит в перечень, приведенный в 3.2.7,то для построения распределения статистики G(S½H₀), соответствующегопроверяемой гипотезе Н₀, рекомендуется воспользоватьсяметодикой компьютерного анализа, изложенной в 2.3.2.

3.2.1 Проверка сложной гипотезы о согласии покритерию типа Колмогорова

Порядок проверки сложнойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим по критерию типаКолмогорова - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения,связанные с указанным видом статистики, следующие.

а) Оценку скалярного иливекторного параметра распределения F(x,θ)можно вычислять методом максимального правдоподобия на основании формул (21) - (23) илипри минимизации статистики S_Kна основании формулы (24).

б) Значение статистикиКолмогорова S_K(при использовании ОМП) илиее минимума [при использовании MD-оценок - формула (24)]вычисляют по формуле (6) на основании формул (7) - (9).

в) Распределение G(S_K½H₀) в случае использования ОМПв соответствии с теоретическим распределением F(x,θ), оцененным параметром илипараметрами выбирают из таблицы А.7. Критическиезначения критерия S_α при заданном α могутбыть взяты из таблицы А.8.

г) В случае использования MD-оценок[формула (26)]распределение G(S_K½H₀) выбирают из таблицы А.9, акритические значения критерия S_α могут быть взяты из таблицы А.10.

д) Гипотезу о согласии неотвергают, если P{S>S^*_K} = 1 - G(S_K½H₀) > α (или S^*_K <S_α).

3.2.2 Проверка сложной гипотезы о согласии покритерию типа Смирнова

Порядок проверки сложнойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим с использованиемкритерия типа Смирнова - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применениякритерия типа Смирнова следующие.

а) Оценку скалярного иливекторного параметра распределения F(x,θ)вычисляют методом максимального правдоподобия [формулы (21) - (23)].

б) Значение статистикиСмирнова S_m вычисляютпо формуле (12)на основании формул (8), (9).

в) Распределение G(S_m½H₀) в случае использования ОМПв соответствии с теоретическим распределением F(x,θ),оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.11.Критические значения критерия S_α при заданном α могут быть взяты из таблицы А.12.

г) Гипотезу о согласии неотвергают, если P{S>S^*_m} = 1 - G(S^*_m½H₀) > α (или S^*_m <S_α).

3.2.3 Проверка сложной гипотезы о согласии покритерию типа ω² Мизеса

Порядок проверки сложнойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим по критерию типаω² Мизеса - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применениякритерия типа ω² Мизеса следующие.

а) Оценка скалярного иливекторного параметра распределения F(х,θ)может быть вычислена методом максимального правдоподобия на основании формул (21) - (23) илипри минимизации статистики S_ω на основании формулы (25).

б) Значение статистикиКрамера - Мизеса - Смирнова S_ω (при использовании ОМП) или ее минимума [при использовании MD-оценокформула (25)]вычисляют по формуле (16).

в) Распределение G(S_ω½H₀) в случае использования ОМПв соответствии с теоретическим распределением F(x,θ),оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.13.Критические значения критерия S_α при заданном α могутбыть взяты из таблицы А.14.

г) В случае использования MD-оценок[формула (27)] распределение G(S_ω½H₀) выбирают из таблицы А.15.Критические значения критерия S_α могут быть взяты из таблицы А.16.

д) Гипотезу о согласии неотвергают, если P{S>S^*_ω} = 1 - G(S^*_ω½H₀) > α (или S^*_ω <S_α).

3.2.4 Проверка сложной гипотезы о согласии покритерию типа Ω²Мизеса

Порядок проверки сложнойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим по критерию типа Ω² Мизеса - в соответствии с 3.2,перечисления а) - ж).

Особенности примененияуказанного критерия следующие.

а) Оценка скалярного иливекторного параметра распределения F(х,θ)может быть вычислена методом максимального правдоподобия на основании формул (21) - (23) илипри минимизации статистики S_Ω на основании формулы (26).

б) Значение статистикиАндерсона - Дарлинга S_Ω (при использовании ОМП) илиее минимума [при использовании MD-оценок формула (26)]вычисляют по формуле (19).

в) Распределение G(S_Ω½H₀) в случае использования ОМПв соответствии с теоретическим распределением F(x,θ),оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.17.Критические значения критерия S_aпри заданном α могутбыть взяты из таблицы А.18.

г) В случае использования MD-оценок[формула (28)] распределение G(S_Ω½H₀) выбирают из таблицы А.19.Критические значения критерия S_α могут быть взяты из таблицы А.20.

д) Гипотезу о согласии неотвергают, если P{S>S^*_Ω} = 1 - G(S^*_Ω½H₀) > α (или S^*_Ω <S_α).

3.2.5 Проверка сложныхгипотез о согласии с гамма-распределением

Порядок проверки сложнойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим гамма-распределением- в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применениярассматриваемых критериев заключаются в том, что предельные распределениястатистик критериев в данном случае зависят от значения параметра формы θ₀гамма-распределения (см. таблицу 1). Кроме того, модели распределений статистик припроверке согласия с гамма-распределением построены только для случаяиспользования ОМП и для ограниченного ряда значений параметра формы θ₀.

При необходимости проверкигипотезы о согласии для значения параметра θ₀, не совпадающегос представленными в таблицах А.21 - А.28, следует воспользоватьсязаконом распределения соответствующей статистики (или процентными точками) приближайшем к θ₀ табличном значении этого параметра. Можно найтиискомые приближенные значения вероятности P{S>S^*} (пли процентных точек) с помощью интерполяции.

3.2.5.1 Проверка сложной гипотезы осогласии с гамма-распределением по критерию типа Колмогорова

Общий порядок проверкисложной гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическимгамма-распределением - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения,связанные с видом статистики, следующие.

а) Оценку скалярного иливекторного, параметра гамма-распределения вычисляют методом максимальногоправдоподобия на основании формул (21) - (23).

б) Значение статистикиКолмогорова S_Kвычисляют по формуле (6) наосновании формул (7) - (9).

в) Распределение G(S_K½H₀) в соответствии с оцененнымпараметром или параметрами выбирают из таблицы А.21. Критическое значениекритерия S_α призаданном α может быть взято из таблицы А.22. Если значение параметраформы θ₀ не совпадает ни с одним из табличных, искомые значенияP{S>S^*_K} или квантили S_α определяют интерполяцией.

г) Гипотезу о согласии неотвергают, если P{S>S^*_K} = 1 - G(S^*_K½H₀) > α (или S^*_K <S_α).

3.2.5.2 Проверка сложной гипотезы осогласии с гамма-распределением по критерию типа Смирнова

Порядок проверки сложнойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим гамма-распределениемс использованием критерия типа Смирнова - в соответствии с 3.2,перечисления а) - ж).

Особенности примененияуказанного критерия следующие.

а) Оценку скалярного иливекторного параметра гамма-распределения вычисляют методом максимальногоправдоподобия по формулам (21) - (23).

б) Значение статистикиСмирнова S_m вычисляютпо формуле (12)на основании формул (8), (9).

в) Распределение G(S_m½H₀) в соответствии с оцененнымпараметром или параметрами выбирают из таблицы А.23. Критическое значениекритерия S_α призаданном α может быть взято из таблицы А.24. Если значение параметраформы θ₀ не совпадает ни содним из табличных, искомые значения P{S>S^*_m} или критические значениякритерия S_α призаданном α определяют интерполяцией.

г) Гипотезу о согласии неотвергают, если P{S>S^*_m} = 1 - G(S^*_m½H₀) > α (или S^*_m <S_α).

3.2.5.3 Проверка сложной гипотезы осогласии с гамма-распределением по критерию типа ω² Мизеса

Порядок проверки сложнойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим гамма-распределениемпо критерию типа ω² Мизеса - в соответствии с 3.2,перечисления а) - ж).

Особенности примененияуказанного критерия следующие.

а) Оценку скалярного иливекторного параметра гамма-распределения вычисляют методом максимальногоправдоподобия на основании формул (21) - (23).

б) Значение статистикиКрамера - Мизеса - Смирнова S_ω вычисляют по формуле (16).

в) Распределение G(S_ω½H₀) в соответствии с оцененнымпараметром или параметрами выбирают из таблицы А.25. Критическое значениекритерия S_α призаданном α может быть взято из таблицы А.26. Если значение параметраформы θ₀ не совпадает ни с одним из табличных, искомые значенияP{S>S^*_ω} или критические значениякритерия S_α призаданном α определяют интерполяцией.

г) Гипотезу о согласии неотвергают, если P{S>S^*_ω} = 1 - G(S^*_ω½H₀) > α (или S^*_ω < S_α).

3.2.5.4 Проверка сложной гипотезы осогласии с гамма-распределением по критерию типа Ω² Мизеса

Порядок проверки сложнойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим гамма-распределениемпо критерию типа Ω² Мизеса - в соответствии с 3.2,перечисления а) - ж).

Особенности примененияуказанного критерия следующие.

а) Оценку скалярного иливекторного параметра гамма-распределения вычисляют методом максимальногоправдоподобия на основании формул (21) - (23).

б) Значение статистикиАндерсона - Дарлинга S_Ω вычисляют по формуле (19).

в) Распределение G(S_Ω½H₀) в соответствии с оцененнымпараметром или параметрами выбирают из таблицы А.27.Критическое значение критерия S_α при заданном α можетбыть взято из таблицы А.28. Если значение параметра формы θ₀не совпадает ни с одним из табличных, искомые значения P{S>S^*_Ω} или критические значения критерия S_α при заданном αопределяют интерполяцией.

г) Гипотезу о согласии неотвергают, если P{S>S^*_Ω} = 1 - G(S^*_Ω½H₀) > α (или S^*_Ω <S_α).

3.2.6 Проверка сложныхгипотез о согласии с распределениями Джонсона

Проверку сложных гипотез осогласии опытного распределения с теоретическими распределениями Джонсона покритериям типа Колмогорова, типа ω² и Ω² Мизеса при использованииметода максимального правдоподобия осуществляют в соответствии с 3.2.1, 3.2.3 и3.2.4соответственно.

Модели предельныхраспределений соответствующих статистик выбирают из таблицы А.29для распределения Sb-Джонсона, из таблицы А.30для распределения Sl-Джонсона, из таблицы А.31для распределения Su-Джонсона.

Процентные точкираспределений статистики типа Колмогорова представлены в таблице А.32,статистики типа ω² Мизеса - в таблице А.33, статистики типа Ω² Мизеса - в таблице А.34.

3.2.7 Перечень распределений, для которыхрегламентирована проверка сложных гипотез с использованием настоящихрекомендаций

Настоящие рекомендацииопределяют порядок проверки сложных гипотез о согласии с законамираспределения, перечень которых приведен в таблице 1.

Таблица 1

Список распределений,приведенный в таблице 1, достаточно ограничен. Он включает в себя законыраспределения, наиболее часто используемые в приложениях в качестве моделейзаконов реальных случайных величин. Более широкий набор параметрических моделейзаконов распределений предложен в справочнике [35]. В случае необходимостипроверки сложной гипотезы относительно закона, не вошедшего в представленныйперечень, для построения распределения статистики G(S½H₀) соответствующего проверяемойгипотезе Н₀, рекомендуется воспользоваться методикойкомпьютерного анализа, изложенной в 2.3.2.

3.2.8 Законыраспределения, используемые для аппроксимации предельных распределенийстатистик непараметрических критериев при проверке сложных гипотез

Эмпирические законыраспределения статистик непараметрических критериев согласия наиболее хорошоописываются одним из следующих законов распределения: логарифмическинормальным, гамма-распределением, распределением Sl-Джонсона или распределениемSu-Джонсона.

В таблицах приложения А,содержащих рекомендуемые для использования при проверке сложных гипотезраспределения G(S½H₀) через lnN(θ₁, θ₀)обозначено логарифмически нормальное распределение с функцией плотности

,

через γ(θ₀,θ₁, θ₂) - гамма-распределение с функциейплотности

через Sl(θ₀,θ₁, θ₂, θ₃) - распределение Sl-Джонсонас плотностью

через Su (θ₀,θ₁, θ₂, θ₃) - распределение Su-Джонсонас плотностью

Таблицы А.7 - А.34построены в результате применения методики компьютерного анализа статистическихзакономерностей, описанной в 2.3.2.

Процентные точки,представленные в таблицах, соответствуют построенным моделям распределенийстатистик. В некоторых частных случаях эти значения уточняли вследствиеаппроксимации «хвостов» эмпирических распределений, полученных в результатемоделирования.

Таблицы А.1 - А.6,используемые при проверке простых гипотез и содержащие значения функцийраспределения классических статистик непараметрических критериев согласия изначения процентных точек, заимствованы в [3].

3.2.9 Примеры применениякритериев согласия при простых и сложных гипотезах

Пример 1 Проверяют простую гипотезу опринадлежности выборки экспоненциальному закону. Упорядоченная выборка объемом100 наблюдений имеет вид:

Проверяемая гипотеза имеетвид Н₀:  при значении параметра θ₀= 0,5.

а) Критерий Колмогорова

В соответствии с 3.1.1вычисляют значение статистики Колмогорова по формуле (6):

S^*_k = 0,8269.При этом значении статистики вычисляют вероятность P{S>S^*_K} = 1 - K(S^*_K)= 0,5011.

б) Критерий Смирнова

В соответствии с 3.1.2вычисляют значение статистики Смирнова по формуле (12): S^*_m ⁼ 2,7349. При этом значении статистики вычисляютвероятность P{S_m>S^*_m} =  = 0,2548.

в) Критерий ω²от Мизеса

В соответствии с 3.1.3вычисляют значение статистики ω² Мизеса по формуле (16): S^*_ω = 0,1272. При этом значении статистики вычисляют вероятность P{S_ω>S^*_ω} = 1 - a1(S^*_ω) = 0,4673.

г) Критерий Ω²Мизеса

В соответствии с 3.1.4вычисляют значение статистики Ω² Мизеса по формуле (16): S^*_Ω= 0,8985. При таком значении статистики вычисляют вероятность P{S_Ω>S^*_Ω} = 1 - a2(S^*_Ω) = 0,4151.

Как видно, при заданииуровня значимости α < 0,2548 (для критерия Смирнова) нет оснований дляотклонения проверяемой гипотезы по всем критериям согласия.

Пример 2 Проверяют сложную гипотезуо принадлежности выборки из примера 1 экспоненциальному закону H₀: . Вычисленная по выборке оценка максимальногоправдоподобия параметра  = 0,4465.

а) Критерий типа Колмогорова

В соответствии с 3.2.1вычисляют значение статистики типа Колмогорова по формуле (6): S^*_K = 0,5188. Из таблицы А.7 находят, что распределение статистикикритерия хорошо аппроксимируется логарифмически нормальным распределением  cпараметрами θ₀ = 0,2545; θ₁ = -0,3422. Принайденном значении статистики по логарифмически нормальному закону вычисляютвероятность P{S>S^*_K} = 0,8914.

б) Критерий типа Смирнова

В соответствии с 3.2.2вычисляют значение статистики типа Смирнова по формуле (12): S^*_m = 1,0767. Из таблицы А.11видно, что распределение статистики критерия аппроксимируется логарифмическинормальным распределением с параметрами θ₀ = 0,6951; θ₁= 0,226. При найденном значении статистики вычисляют вероятность P{S_m>S^*_m} = 0,5866.

в) Критерий типа ω²Мизеса

В соответствии с 3.2.3вычисляют значение статистики типа ω² Мизеса по формуле (16): S^*_ω = 0,035. Из таблицы А.13видно, что распределение статистики критерия аппроксимируется распределением Su-Джонсонас плотностью

и параметрами θ₀ = -1,8734; θ₁= 1,2118; θ₂ = 0,0223; θ₃ = 0,024. Принайденном значении статистики по распределению Su-Джонсона вычисляютвероятность P{S_ω>S^*_ω} = 0,9027.

г) Критерий типа Ω² Мизеса

В соответствии с 3.2.4вычисляют значение статистики Ω² Мизеса по формуле (16):

S^*_Ω = 0,386. Из таблицы А.17находят, что распределение статистики критерия аппроксимируется распределением Su-Джонсонас параметрами θ₀ = -2,8653; θ₁ = 1,422; θ₂= 0,105; θ₃ = 0,1128. При найденном значении статистики пораспределению Su-Джонсона вычисляют вероятность P{S_Ω>S^*_Ω} = 0,6808.

По всемкритериям согласие выборки с экспоненциальным законом очень хорошее.

Пример 3 Проверяют простую гипотезу опринадлежности выборки нормальному закону. Упорядоченная выборка объемом 100наблюдений имеет вид:

Проверяемая гипотеза имеетвид Н₀:  при значениипараметра θ₀ = 0,5.

а) Критерий Колмогорова

В соответствии с 3.1.1вычисляют значение статистики Колмогорова по формуле (6):

S^*_k = 0,7410.При этом значении статистики вычисляют вероятность P{S>S^*_K} = 1 - K(S^*_K)= 0,5741.

б) Критерий Смирнова

В соответствии с 3.1.2вычисляют значение статистики Смирнова по формуле (12): S^*_m ⁼ 2,1964. При этом значении статистики вычисляютвероятность P{S_m>S^*_m} =  = 0,3335.

в) Критерий ω²от Мизеса

В соответствии с 3.1.3вычисляют значение статистики ω² Мизеса по формуле (16): S^*_ω = 0,1148. При этом значении статистики вычисляют вероятность P{S_ω>S^*_ω} = 1 - a1(S^*_ω) = 0,5169.

г) Критерий Ω²Мизеса

В соответствии с 3.1.4 вычисляютзначение статистики Ω² Мизеса по формуле (16): S^*_Ω= 0,7577. Полученная при таком значении статистики вероятность равна0,5126.

Как видно, при заданииуровня значимости α < 0,3335 (для критерия Смирнова) нет оснований дляотклонения проверяемой гипотезы по всем критериям согласия.

Пример 4 Проверяют сложную гипотезу опринадлежности выборки из примера 3нормальному закону распределения. Проверяемая гипотеза имеет вид H₀: . Вычисленныепо выборке оценки максимального правдоподобия параметров θ₀ =0,4465; θ₁ = 0,9369.

а) Критерий типа Колмогорова

В соответствии с 3.2.1вычисляют значение статистики типа Колмогорова по формуле (6): S^*_K = 0,5741. Из таблицы А.7находят, что распределение статистики критерия при вычислении оценокмаксимального правдоподобия двух параметров нормального закона аппроксимируетсягамма-распределением  с параметрами θ₀= 4,9014; θ₁ = 0,0691; θ₂ = 0,2951. Принайденном значении статистики по гамма-распределению вычисляют вероятность P{S>S^*_K } = 0,6034.

б) Критерий типа Смирнова

В соответствии с 3.2.2вычисляют значение статистики типа Смирнова по формуле (12): S^*_m = 0,4016. Из таблицы А.11видно, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП двух параметровнормального закона подчиняется логарифмически нормальному распределению с параметрами θ₀= 0,5436; θ₁ = 0,1164. При найденном значении статистикивычисляют по логарифмически нормальному закону вероятность P{S_m>S^*_m}= 0,9708.

в) Критерий типа ω²Мизеса

В соответствии с 3.2.3вычисляют значение статистики типа ω² Мизеса по формуле (16): S^*_ω = 0,0338. Из таблицы А.13находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП двухпараметров нормального закона подчиняется логарифмически нормальномураспределению с параметрами θ₀= 0,5330; θ₁ =-2,9794. При найденном значении статистики вычисляют по логарифмическинормальному закону вероятность P{S_ω>S^*_ω} = 0,7779.

г) Критерий типа Ω² Мизеса

В соответствии с 3.2.4вычисляют значение статистики Ω² Мизеса по формуле (16): S^*_Ω = 0,2394. Из таблицы А.17 находят, что распределение статистикикритерия подчиняется распределению Su-Джонсона с параметрамиθ₀ = -2,7057; θ₁ = 1,7154; θ₂ =0,1043; θ₃ = 0,0925. При найденном значении статистики пораспределению Su-Джонсона вычисляют вероятность P{S_Ω>S^*_Ω} = 0,7719.

По всем критериям согласиевыборки с нормальным законом очень хорошее.

Пример 5 Проверяют сложную гипотезу опринадлежности выборки двухпараметрическому распределению Вейбулла.Упорядоченная выборка объемом 200 наблюдений имеет вид:

Проверяют Н₀: Вычисленные повыборке оценки максимального правдоподобия параметров  = 1,3734;  = 0,8539.

а) Критерий типа Колмогорова

В соответствии с 3.2.1вычисляют значение статистики типа Колмогорова по формуле (6): S^*_K = 1,2402. Из таблицы А.7находят, что распределение статистики критерия при вычислении оценокмаксимального правдоподобия двух параметров распределения Вейбуллааппроксимируется гамма-распределением с параметрами θ₀ =4,9738; θ₁ = 0,066; θ₂ = 0,3049. При найденномзначении статистики в соответствии с гамма-распределением вычисляют вероятностьP{S>S^*_K}= 0,00154. Следовательно, при задании уровня значимости α > 0,00154проверяемая гипотеза должна быть отклонена.

б) Критерий типа Смирнова

В соответствии с 3.2.2вычисляют значение статистики типа Смирнова по формуле (12): S^*_m = 4,6028. Из таблицы А.11находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП двухпараметров распределения Вейбулла подчиняется логарифмически нормальномураспределению с параметрами θ₀ = 0,1501; θ₁ =0,5108. При найденном значении статистики вычисляют в соответствии слогарифмически нормальным законом вероятность P{S_m>S^*_m} = 0,00352.

в) Критерий типа ω²Мизеса

В соответствии с 3.2.3вычисляют значение статистики типа ω² Мизеса по формуле (16): S^*_ω = 0,347. Из таблицы А.13находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП двухпараметров распределения Вейбулла подчиняется логарифмически нормальномураспределению с параметрами θ₀ = 0,5379; θ₁ =-2,9541. При найденном значении статистики вычисляют в соответствии слогарифмически нормальным законом вероятность P{S_ω>S^*_ω} = 0,00021.

г) Критерий типа Ω² Мизеса

В соответствии с 3.2.4вычисляют значение статистики Ω² Мизеса по формуле (16): S^*_Ω = 2,553. Из таблицы А.17 находят, что при вычислении ОМП двухпараметров распределения Вейбулла распределение статистики критерия хорошоаппроксимируется распределением Su-Джонсона с параметрамиθ₀= -2,4622; θ₁ = 1,6473; θ₂ =0,1075; θ₃ = 0,1149. При найденном значении статистикивычисляют по распределению Su-Джонсона вероятность P{S^*_Ω>S^*_Ω} = 0,000066.

Таким образом, по всемкритериям выборка плохо согласуется с распределением Вейбулла ипроверяемая гипотеза должна быть отклонена.

Пример 6 Проверяют сложную гипотезу опринадлежности выборки гамма-распределению с параметром формы θ₀= 2, параметром сдвига θ₂ = 0. Упорядоченная выборка объемом100 наблюдений имеет вид:

Проверяемая гипотеза имеетвид

H₀: .

Вычисленная по выборкеоценка максимального правдоподобия параметра масштаба  = 1,02818.

а) Критерий типа Колмогорова

В соответствии с 3.2.5.1вычисляют значение статистики типа Колмогорова по формуле (6): S^*_K = 0,4917. Из таблицы А.21находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП масштабногопараметра гамма-распределения подчиняется распределению Su-Джонсонас параметрами θ₀ = -2,2691; θ₁ = 2,2383; θ₂= 0,2323; θ₃ = 0,3958. При найденном значении статистики пораспределению Su-Джонсона вычисляют вероятность P{S>S^*_K} = 0,9146.Следовательно, согласие очень хорошее и проверяемая гипотеза должна бытьпринята.

б) Критерий типа Смирнова

В соответствии с 3.2.5.2вычисляют значение статистики типа Смирнова по формуле (12): S^*_m = 0,9419. Из таблицы А.23находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметрамасштаба гамма-распределения подчиняется распределению Su-Джонсонас параметрами θ₀ = -2,5372; θ₁ = 1,3749; θ₂= 0,3464; θ₃ = 0,2162. При найденном значении статистики пораспределению Su-Джонсона вычисляют вероятность P{S_m>S^*_m}= 0,6897, значение которой указывает на хорошее согласие.

в) Критерий типа ω²Мизеса

В соответствии с 3.2.5.3вычисляют значение статистики типа ω² Мизеса по формуле (16): S^*_ω = 0,0475. Из таблицы А.25находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметрамасштаба гамма-распределения подчиняется распределению Su-Джонсонас параметрами θ₀ = -1,6042; θ₁ = 1,1125; θ₂= 0,0027; θ₃ = 0,0281. При найденном значении статистики пораспределению Su-Джонсона вычисляют вероятность P{S_ω>S^*_ω} = 0,7498.

г) Критерий типа Ω² Мизеса

В соответствии с 3.2.5.4вычисляют значение статистики Ω² Мизеса по формуле (16): S^*_Ω = 0,2675. Из таблицы А.27 находят, что распределение статистикикритерия при вычислении ОМП параметра масштаба гамма-распределения подчиняетсяраспределению Su-Джонсона с параметрами θ₀ =-2,4667; θ₁ = 1,418; θ₂ = 0,1207; θ₃= 0,1416. При найденном значении статистики по данному распределению Su-Джонсонавычисляют вероятность P{S_Ω>S^*_Ω} = 0,8798.

Таким образом, по всемкритериям выборка хорошо согласуется с гамма-распределением и проверяемаягипотеза должна быть принята.

Пример 7 Проверяют сложную гипотезуо принадлежности выборки гамма-распределению с параметром сдвига θ₂ = 0. Упорядоченнаявыборка объемом 100 наблюдений имеет вид:

Проверяемая гипотеза имеетвид

H₀: .

Вычисленные по выборке ОМПпараметров формы и масштаба соответственно равны  = 0,5812;  =2,7391. В таблицах А.21 -А.28ближайшее значение параметра формы θ₀ = 0,5.

а) Критерий типа Колмогорова

В соответствии с 3.2.5.1вычисляют значение статистики типа Колмогорова по формуле (6): S^*_K = 0,6272. Из таблицы А.21находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметровформы и масштаба гамма-распределения при θ₀ = 0,5 подчиняетсяраспределению Su-Джонсона с параметрами θ₀ =-2,8715; θ₁ = 2,5280; θ₂ = 0,2325; θ₃= 0,3296. При найденном значении статистики по данному распределению Su-Джонсона вычисляютвероятность P{S>S^*_K} = 0,5699. Так как оценкапараметра формы больше 0,5, то при θ₀ = 0,5812 P{S>S^*_K} > 0,5699.Следовательно, проверяемая гипотеза должна быть принята.

б) Критерий типа Смирнова

В соответствии с 3.2.5.2вычисляют значение статистики типа Смирнова по формуле (12): S^*_m = 1,1526. Из таблицы А.23находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметровформы и масштаба гамма-распределения при θ₀ = 0,5 подчиняетсяраспределению Su-Джонсона с параметрами θ₀ =-2,4027; θ₁ = 1,3861; θ₂ = 0,3389; θ₃= 0,2290. При найденном значении статистики по данному распределению Su-Джонсонавычисляют, что вероятность P{S_m>S^*_m} > 0,5031.

в) Критерий типа ω²Мизеса

В соответствии с 3.2.5.3вычисляют значение статистики типа ω² Мизеса по формуле (16): S^*_ω = 0,0561. Из таблицы А.25находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметровформы и масштаба гамма-распределения при θ₀ = 0,5 подчиняетсяраспределению Su-Джонсона с параметрами θ₀ =-1,5811; θ₁ = 1,1193; θ₂ = 0,0164; θ₃= 0,0243. При найденном значении статистики по данному распределению Su-Джонсонавычисляют, что вероятность P{S_ω>S^*_ω} > 0,4985.

г) Критерий типа Ω²Мизеса

В соответствии с 3.2.5.4вычисляют значение статистики Ω² Мизеса по формуле (16): S^*_Ω = 0,3746. Из таблицы А.27находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметровформы и масштаба гамма-распределения при θ₀ = 0,5 подчиняетсяраспределению Su-Джонсона с параметрами θ₀ =-2,6917; θ₁ = 1,6334; θ₂ = 0,0970; θ₃= 0,1067. При найденном значении статистики по данному распределению Su-Джонсонавычисляют, что вероятность P{S_Ω>S^*_Ω} > 0,4400.

Таким образом, по всемкритериям выборка хорошо согласуется с гамма-распределением и проверяемаягипотеза должна быть принята.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

(рекомендуемое)

ТАБЛИЦЫ
распределений статистик непараметрических критериев согласия при простых исложных гипотезах

Таблица А.1 - Функция распределения статистики Колмогорова K(S)при проверке простой гипотезы

Таблица А.2 - Процентные точки распределения статистикиКолмогорова при проверке простой гипотезы

Таблица А.3 - Функция распределения статистики ω²Мизеса а1(S) при проверке простой гипотезы

Таблица А.4 - Процентные точки распределения статистикиω² Мизеса при проверке простой гипотезы

Таблица А.5 - Функция распределения статистики Ω² Мизеса (Андерсона -Дарлинга) a2(S) при проверкепростой гипотезы

Таблица А.6 -Процентные точки распределения статистики Ω² Мизеса (Андерсона - Дарлинга) при проверке простой гипотезы

Таблица А.7 - Аппроксимация предельных распределенийстатистики Колмогорова при использовании метода максимального правдоподобия

Таблица А.8 - Процентные точки распределения статистикиКолмогорова при использовании метода максимального правдоподобия

Таблица А.9 - Аппроксимация предельных распределенийминимума статистики Колмогорова (при использовании MD-оценок, минимизирующихстатистику S_K)

Таблица А.10 - Процентные точки распределения минимумастатистики Колмогорова (при использовании MD-оценок, минимизирующихстатистику S_K)

Таблица А.11 - Аппроксимация предельных распределенийстатистики Смирнова при использовании метода максимального правдоподобия

Таблица А.12 - Процентные точки распределения статистикиСмирнова при использовании метода максимального правдоподобия

Таблица А.13 - Аппроксимация предельных распределенийстатистики ω² Мизеса при использовании метода максимальногоправдоподобия

Таблица А.14 - Процентные точки распределения статистикиω² Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия

Таблица А.15 - Аппроксимация предельных распределенийминимума статистики ω² Мизеса (при использовании MD-оценок, минимизирующихстатистику S_ω)

Таблица А.16 - Процентные точки распределения минимумастатистики ω² Мизеса (при использовании MD-оценок,минимизирующих статистику S_ω)

Таблица А.17 - Аппроксимация предельных распределенийстатистики Ω² Мизеса при использовании метода максимальногоправдоподобия

Таблица А.18 - Процентные точки распределения статистики Ω² Мизеса при использованииметода максимального правдоподобия

Таблица А.19 - Аппроксимация предельных распределений статистики Ω² Мизеса (при использовании MD-оценок,минимизирующих статистику S_Ω)

Таблица А.20 - Процентные точки распределения минимумастатистики Ω² Мизеса (при использовании MD-оценок, минимизирующихстатистику S_Ω)

Таблица А.21 - Аппроксимация предельных распределенийстатистики Колмогорова при использовании метода максимального правдоподобия ипроверке согласия с гамма-распределением

Таблица А.22 - Процентные точки распределения статистикиКолмогорова при использовании метода максимального правдоподобия и проверкегипотезы о согласии с гамма-распределением

Таблица А.23 - Аппроксимация предельных распределенийстатистики Смирнова при использовании метода максимального правдоподобия ипроверке согласия с гамма-распределением

Таблица А.24 - Процентные точки распределения статистикиСмирнова при использовании метода максимального правдоподобия и проверке гипотезыо согласии с гамма-распределением

Таблица А.25 - Аппроксимация предельных распределенийстатистики ω² Мизеса при использовании метода максимальногоправдоподобия и проверке согласия с гамма-распределением

Таблица А.26 - Процентные точки распределения статистикиω² Мизеса при использовании метода максимального правдоподобияи проверке гипотезы о согласии с гамма-распределением

Таблица А.27 - Аппроксимация предельных распределенийстатистики Ω² Мизеса при использовании методамаксимального правдоподобия и проверке согласия с гамма-распределением

Таблица А.28 - Процентные точки распределения статистикиΩ² Мизеса при использовании метода максимальногоправдоподобия и проверке гипотезы о согласии с гамма-распределением

Таблица А.29 - Модели предельных распределений статистикнепараметрических критериев при проверке гипотез о согласии с распределением Sb-Джонсона

Таблица А.30 - Модели предельных распределений статистикнепараметрических критериев при проверке гипотез о согласии с распределением Sl-Джонсона

Таблица А.31 - Модели предельных распределений статистикнепараметрических критериев при проверке гипотез о согласии с распределением Su-Джонсона

Таблица А.32 - Процентные точки распределения статистикиКолмогорова при использовании метода максимального правдоподобия

Таблица А.33 - Процентные точки распределения статистикиω² Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия

Таблица А.34 - Процентные точки распределения статистики Ω² Мизеса при использованииметода максимального правдоподобия

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

(справочное)

Библиография

[1] Денисов В. И., Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Прикладнаястатистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим:Методические рекомендации. Часть I. Критерии типа χ².- Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998. - С. 126

[2] Kolmogoroff A.N. Sulladeterminazione empirica di una legge di distribuzione. // G. Ist. Ital. attuar.- 1933. - Vol. 4. - № 1.-P. 83-91

[3] Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. -М.: Наука, 1983. - 416 с.

[4] Anderson Т. W.,Darling D. A. Asymptotic theory of certain «Goodness of fit» criteria based onstochastic processes. - AMS, 1952, 23. - P. 193-212

[5] Орлов А. И. Распространенная ошибка при использовании критериевКолмогорова и омега-квадрат // Заводская лаборатория. - 1985. - Т. 51. - № 1. -С. 60-62

[6] БондаревБ. В. О проверке сложных статистических гипотез // Заводская лаборатория. -1986.- Т. 52. - № 10.-С. 62-63

[7] Кулинская Е. В., Саввушкина Н. Е. О некоторых ошибках в реализации иприменении непараметрических методов в пакете для IBM PC // Заводская лаборатория. - 1990. - Т. 56. - № 5. - С. 96-99

[8] Каc М.,Kiefer J., Wolfowitz J. On tests of normality and other tests of goodness offit based on distance methods // Ann. Math. Stat. - 1955. - V. 26. - P. 189-211

[9] Durbin J. Kolmogoriv -Smirnov test when parameters are estimated // Lect. Notes Math. - 1976. - V.566. - P. 33-44

[10] Мартынов Г. В. Критерии омега-квадрат. - М.: Наука, 1978. - 80 с.

[11] Pearson Е. S.,Hartley Н. O. Biometrica tables forStatistics. V. 2. - Cambridge: University Press, 1972. - 634 p.

[12] Stephens M. A. Use of Kolmogorov - Smirnov,Cramer - von Mises and related statistics - without extensive table // J. R.Stat. Soc. - 1970. - B. 32. - P. 115-122

[13] Stephens M. A. EDF statistics for goodness of fitand some comparisons // J. Am. Statist. Assoc. - 1974. - V. 69. - P. 730-737

[14] Chandra M., SingpurwallaN. D., Stephens M. A. Statistics for Test of Fit for the Extrem-Value andWeibull Distribution // J. Am. Statist. Assoc. - 1981. - V. 76. - P. 375

[15] Тюрин Ю. Н. О предельном распределении статистик Колмогорова -Смирнова для сложной гипотезы // Изв. АН СССР. Сер. Матем. - 1984. - Т. 48. - №6. - С. 1314 - 1343

[16] Тюрин Ю.Н., Саввушкина Н. Е. Критерии согласия для распределения Вейбулла - Гнеденко //Изв. АН СССР. Сер. Техн. Кибернетика. - 1984. - № 3. - С. 109-112

[17] Тюрин Ю.Н. Исследования по непараметрической статистике (непараметрические методы илинейная модель): Автореф. дисс. д-ра физ.-мат. наук. - М., 1985. - 33 с. -(МГУ)

[18]Саввушкина Н. Е. Критерий Колмогорова - Смирнова для логистического игамма-распределения // Сб. тр. ВНИИ систем. исслед. - 1990, № 8

[19] Тюрин Ю. Н., Макаров А. А. Анализ данных на компьютере. - М.:ИНФРА-М, Финансы и статистика, 1995.-384 с.

[20] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Прикладные аспекты использованиякритериев согласия в случае проверки сложных гипотез // Надежность и контролькачества. - 1997. - № 11. - С. 3-17

[21] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. О распределениях статистик непараметрическихкритериев согласия при оценивании по выборкам параметров наблюдаемых законов //Заводская лаборатория. - 1998.-Т. 64. - № 3.- С. 61-72

[22] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Исследование допредельныхраспределений статистик критериев согласия при проверке сложных гипотез // Тр. IV международной конференции «Актуальные проблемы электронногоприборостроения». - Новосибирск. - 1998. - Т. 3. - С. 12 - 16

[23] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. О зависимости распределенийстатистик непараметрических критериев и их мощности от метода оцениванияпараметров // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2001. - Т. 67. -№ 7

[24] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Применение непараметрическихкритериев согласия при проверке сложных гипотез // Автометрия. - 2001, - № 2.-С. 88-102

[25] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. О зависимости предельныхраспределений статистик χ² Пирсона и отношения правдоподобия отспособа группирования данных // Заводская лаборатория. - 1998. - Т. 64. - № 5.- С. 56-63

[26] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Статистический анализ одномерныхнаблюдений по частично группированным данным // Изв. вузов. Физика. - Томск,1995. - № 9. - С. 39-45

[27] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Статистический анализ смесейраспределений по частично группированным данным // Сб. научных трудов НГТУ. -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1995. - № 1. - С. 25-31

[28] Орлов А. И. Методы оценки близости допредельных и предельныхраспределений статистик // Заводская лаборатория. - 1998. - Т. 64. - № 5. - С.64-67

[29] Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. - М.:Наука, 1982. - 296 с.

[30] Орлов А. И. Неустойчивость параметрических методов отбраковкирезко выделяющихся наблюдений // Заводская лаборатория. - 1992. - Т. 58. - № 7.- С. 40-42

[31] Денисов В. И., Лемешко Б. Ю., Цой Е. Б. Оптимальное группирование,оценка параметров и планирование регрессионных экспериментов: В 2 ч. / Новосиб.гос. техн. ун-т. - Новосибирск, 1993. - 346 с.

[32] ЛемешкоБ. Ю., Постовалов С. Н. Вопросы обработки выборок одномерных случайных величин// Научный вестник НГТУ. - Новосибирск, 1996. - № 2. - С. 3-24

[33] ЛемешкоБ. Ю. Асимптотически оптимальное группирование наблюдений - это обеспечение максимальноймощности критериев // Надежность и контроль качества. - 1997. - № 8. - С. 3-14

[34] Лемешко Б. Ю. Асимптотически оптимальное группирование наблюденийв критериях согласия // Заводская лаборатория. - 1998. - Т. 64. - № 1. - С.56-64

[35] Rao С. R.Criteria of estimation in large samples // Sankhua, 1962. - V. 25. - P. 189-206

[36] Pao С. Р. Линейные статистические методы и их применения. - М.: Наука,1968. - 548 с.

[37] ГубаревВ. В. Вероятностные модели: Справочник. В 2 ч. / Новосиб. электротехн. ин-т. -Новосибирск, 1992. - 422 с.