На главную
На главную

50.1.037-2002 «Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II. Непараметрические критерии»

Рекомендации могут быть использованы при разработке правил и рекомендаций по стандартизации, метрологии, сертификации и аккредитации, применяемых Госстандартом России и использующих методы статистического анализа.
Рекомендации предназначены для использования в качестве руководства по применению непараметрических критериев согласия при статистической обработке результатов наблюдений, измерений, контроля, испытаний продукции.

Обозначение: 50.1.037-2002
Название рус.: Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II. Непараметрические критерии
Статус: действующий (Введены впервые)
Дата актуализации текста: 01.10.2008
Дата добавления в базу: 01.02.2009
Дата введения в действие: 01.07.2002
Разработан: ТК 125 "Стандартизация статистических методов управления качеством"
Новосибирский государственный технический университет
Утвержден: Госстандарт России (22.01.2002)
Опубликован: ИПК Издательство стандартов № 2002

Р 50.1.037-2002

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА

ПРАВИЛА ПРОВЕРКИ СОГЛАСИЯ
ОПЫТНОГОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ
С ТЕОРЕТИЧЕСКИМ

ЧАСТЬ II

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ

ГОССТАНДАРТ РОССИИ

Москва

Предисловие

1 РАЗРАБОТАНЫНовосибирским государственным техническим университетом, доработаны с участиемТехнического комитета по стандартизации ТК 125 «Стандартизация статистическихметодов управления качеством»

ВНЕСЕНЫТехническим комитетом по стандартизации ТК 125 «Стандартизация статистическихметодов управления качеством»

2 ПРИНЯТЫ ИВВЕДЕНЫ В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Госстандарта России от 22 января 2002 г. №24-ст

3 ВВЕДЕНЫ ВПЕРВЫЕ

СОДЕРЖАНИЕ

1 Область применения. 2

2 Общие положения. 2

2.1 Простые и сложные гипотезы при проверке согласия опытного распределения с теоретическим.. 2

2.2 Распределения статистик непараметрических критериев согласия при простых гипотезах. 3

2.2.1 Критерий Колмогорова. 3

2.2.2 Критерий Смирнова. 4

2.2.3 Критерии ω2 4

2.3 Непараметрические критерии согласия при сложных гипотезах. 5

2.3.1 Потеря критериями свойства «свободы от распределения». 5

2.3.2 Методика компьютерного анализа статистических закономерностей. 6

2.3.3 Факторы, влияющие на распределения статистик критериев при проверке сложных гипотез. 7

2.3.4 Влияние объема выборки на распределения статистик непараметрических критериев при простых и сложных гипотезах. 8

2.3.5 Влияние объема выборки на мощность непараметрических критериев при простых и сложных гипотезах. 9

2.3.6 Влияние метода оценивания на распределения статистик непараметрических критериев при сложных гипотезах. 12

2.3.7 Метод оценивания и мощность непараметрических критериев согласия. 17

2.3.8 Зависимость распределений статистик непараметрических критериев от конкретных значений параметра. 19

2.3.9 Выводы.. 20

3 Порядок проверки гипотез о согласии. 21

3.1 Порядок проверки простой гипотезы о согласии. 21

3.1.1 Критерий Колмогорова при простой гипотезе. 22

3.1.2 Критерий Смирнова при простой гипотезе. 22

3.1.3 Критерий ω2 Крамера - Мизеса - Смирнова при простой гипотезе. 22

3.1.4 Критерий Ω2 Андерсона - Дарлинга при простой гипотезе. 22

3.2 Порядок проверки сложной гипотезы.. 22

3.2.1 Проверка сложной гипотезы о согласии по критерию типа Колмогорова. 23

3.2.2 Проверка сложной гипотезы о согласии по критерию типа Смирнова. 23

3.2.3 Проверка сложной гипотезы о согласии по критерию типа ω2 Мизеса. 24

3.2.4 Проверка сложной гипотезы о согласии по критерию типа Ω2Мизеса. 24

3.2.5 Проверка сложных гипотез о согласии с гамма-распределением.. 24

3.2.6 Проверка сложных гипотез о согласии с распределениями Джонсона. 26

3.2.7 Перечень распределений, для которых регламентирована проверка сложных гипотез с использованием настоящих рекомендаций. 26

3.2.8 Законы распределения, используемые для аппроксимации предельных распределений статистик непараметрических критериев при проверке сложных гипотез. 27

3.2.9 Примеры применения критериев согласия при простых и сложных гипотезах. 28

Приложение А Таблицы распределений статистик непараметрических критериев согласия при простых и сложных гипотезах. 34

Приложение Б Библиография. 47

Введение

Необходимость разработкинастоящих рекомендаций вызвана тем, что в нормативных документах постандартизации, устанавливающих правила проверки опытного распределения стеоретическим, не определены правила применения непараметрических критериевсогласия типа Колмогорова или типа ω2 Мизеса при проверкесложных гипотез. В связи с этим использование таких критериев в задачахконтроля качества, исследования надежности и в других приложениях зачастую некорректно,следствие чего - неверные статистические выводы.

Настоящие рекомендации, содной стороны, являются практическим руководством, расширяющим благодаряполученным результатом сферу корректного применения критериев согласия припроверке сложных гипотез, с другой стороны, содержат новые сведения израссматриваемого раздела математической статистики, предлагают опробованнуюметодику исследования статистических закономерностей.

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ

Прикладная статистика

ПРАВИЛА ПРОВЕРКИ СОГЛАСИЯ ОПЫТНОГОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ТЕОРЕТИЧЕСКИМ

Часть II.Непараметрические критерии

Applied statistics. Rules of check of experimental and theoreticaldistribution of the consent.

Part II. Nonparametric goodness-of-fit test

Дата введения 2002-07-01

1 Область применения

Настоящие рекомендации,разработанные на основе [1], определяют правила проверки согласияопытного распределения с теоретическим законом распределения непрерывнойслучайной величины.

Настоящие рекомендации могутбыть использованы при разработке правил и рекомендаций по стандартизации,метрологии, сертификации и аккредитации, применяемых Госстандартом России ииспользующих методы статистического анализа.

Настоящие рекомендациипредназначены для использования в качестве руководства по применениюнепараметрических критериев согласия при статистической обработке результатовнаблюдений, измерений, контроля, испытаний продукции.

2 Общие положения

2.1Простые и сложные гипотезы при проверке согласия опытного распределения стеоретическим

Применяя критерии согласиядля проверки соответствия наблюдаемого опытного распределения теоретическомузакону (далее - согласие), следует различать проверку простых и сложныхгипотез.

Простая проверяемая гипотезаимеет вид H0: F(x)= F(x,θ),где F(x, θ) - функцияраспределения вероятностей, с которой проверяют согласие наблюдаемой выборки, аθ - известное значение параметра (скалярного или векторного).

Сложная проверяемая гипотезаимеет вид H0: F(x)Î {F(x, θ), θ Î Q}, где Q - область определенияпараметра θ. В этом случае оценку параметра распределения  вычисляют по той жесамой выборке, по которой проверяют согласие. Если оценку  вычисляют по другойвыборке, то гипотеза простая. Далее сложная гипотеза обозначена следующимобразом Н0: F(x)= F(x,), где  - оценка параметра,вычисляемая по этой же выборке.

В процессе проверки согласияпо выборке вычисляют значение S* статистики используемого критерия.Затем для того, чтобы сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы Н0,необходимо знать условное распределение G(S½Н0) статистики S присправедливости Н0. И если вероятность

                                               (1)

достаточно большая, по крайней мере P{S >S*} > α, где g(s½ Н0) - условная плотность, аα - задаваемый уровень значимости (вероятность ошибки 1-го рода -отклонить справедливую гипотезу Н0), то принято считать, что нет оснований дляотклонения гипотезы Н0.

Если в процессе анализавыборки рассматривают некоторую альтернативу Н1: F(x)= F1(x,θ), то с ней связываютусловное распределение G(S½Н1) и вероятность ошибки 2-города β (принять гипотезу Н0, в то время как верна гипотеза Н1). Задание значения αдля применяемого критерия согласия однозначно определяет и значение β:

                                                            (2)

                                                           (3)

При этом, чем большемощность критерия 1 - β, тем лучше он различает соответствующие гипотезы.

2.2 Распределениястатистик непараметрических критериев согласия при простых гипотезах

2.2.1Критерий Колмогорова

В случае простых гипотезпредельные распределения статистик рассматриваемых критериев согласияКолмогорова, Смирнова, ω2 и Ω2 Мизесаизвестны и независимы от вида наблюдаемого закона распределения и, в частности,от его параметров. Считают, что эти критерии являются «свободными отраспределения». Это достоинство предопределяет широкое использование данныхкритериев в различных приложениях.

Предельное распределениестатистики

                                               (4)

где Fn(х) - эмпирическая функция распределения; F(x, θ) - теоретическая функцияраспределения; п - объем выборки, - было получено Колмогоровым в [2].При п →∞ функция распределения статистики  сходитсяравномерно к функции распределения Колмогорова

.                                                (5)

Наиболее часто в критерииКолмогорова (Колмогорова - Смирнова) используют статистику вида [3]

,                                                           (6)

где

,                                                       (7)

,                                             (8)

;                                            (9)

n - объем выборки; х1,х2, ..., xn - упорядоченные по возрастаниювыборочные значения; F(x,θ) -функция закона распределения, согласие с которым проверяют. Распределениевеличины SK при простой гипотезе впределе подчиняется закону Колмогорова с функцией распределения K(S).

Если для вычисленного повыборке значения статистики S*К выполняется неравенство

P{S>S*К} = 1 - K(S*К) > α,

 то нет оснований дляотклонения гипотезы H0.

2.2.2 Критерий Смирнова

В критерии Смирноваиспользуют статистику

                                            (10)

илистатистику

,                                          (11)

значения которых вычисляют по эквивалентнымсоотношениям (8), (9).

Реально в критерии обычноиспользуют статистику [3]

,                                                       (12)

которая при простой гипотезе в пределе подчиняетсяраспределению χ2 с числом степеней свободы, равным 2.

Гипотезу Н0не отвергают, если для вычисленного по выборке значения статистики S*m

.

2.2.3 Критерии ω2

В критериях типа ω2расстояние между гипотетическим и истинным распределениями рассматривают вквадратичной метрике.

Проверяемая гипотеза Н0имеет вид [3]

                       (13)

при альтернативной гипотезе

                     (14)

где Е[·] - оператор математическогоожидания; ψ(t) - заданная на отрезке 0 ≤ t≤ 1 неотрицательная функция, относительно которой предполагают, чтоψ(t), t ψ(t), t2·ψ (t)интегрируемы на отрезке 0≤t≤1 [4].Статистику критерия [3] выражают соотношением

                  (15)

где

При выборе ψ(t)≡ 1 для критерия ω2 Мизеса получают статистику Крамера -Мизеса - Смирнова вида

                                   (16)

которая при простой гипотезе в пределе подчиняетсязакону с функцией распределения a1(S),имеющей вид [3]

                                                                                                                                     (17)

где  - модифицированныефункции Бесселя,

                         (18)

При выборе ψ(t)1/t(1 - t) для критерия Ω2 Мизесастатистика приобретает вид (статистика Андерсона - Дарлинга)

   (19)

В пределе эта статистикаподчиняется закону с функцией распределения a2(S),имеющей вид [3]

                                                                                                                                               (20)

Гипотезы о согласии неотвергают, если выполнены неравенства

P{Sω>S*ω}=1 - a1(S*ω) > α и P{SΩ>S*Ω}= 1 - a2(S*Ω) > α.

2.3 Непараметрическиекритерии согласия при сложных гипотезах

2.3.1Потеря критериями свойства «свободы от распределения»

При проверке сложныхгипотез, когда по той же самой выборке оценивают параметры наблюдаемого законараспределения вероятностей, непараметрические критерии согласия Колмогорова,Смирнова, ω2 и Ω2 Мизеса теряют свойство«свободы от распределения». В этом случае предельные распределения статистикэтих критериев будут зависеть от закона, которому подчинена наблюдаемаявыборка. Более того, распределения статистик непараметрических критериевсогласия зависят и от используемого метода оценивания параметров. Следует такжеучитывать, что распределения статистик существенно зависят от объема выборки.

Игнорирование того, чтопроверяют сложную гипотезу, неучет различия в сложных гипотезах приводят кнекорректному применению непараметрических критериев согласия в приложениях икак следствие к неверным статистическим выводам. Различия в предельныхраспределениях тех же самых статистик при проверке простых и сложных гипотезнастолько существенны, что пренебрегать этим абсолютно недопустимо [5] - [7].

Точкой отсчета, с которойбыли начаты исследования предельных распределений статистик непараметрическихкритериев согласия при сложных гипотезах, послужила работа [8].

Существует ряд подходов киспользованию непараметрических критериев согласия в этом случае.

При достаточно большойвыборке ее можно разбить на две части и по одной из них оценивать параметры, апо другой проверять согласие. В случае больших объемов выборки такой подходоправдан [9].Но если объем выборки относительно невелик, то способ разбиения ее на две частибудет отражаться и на оценках параметров, и на распределениях статистиккритериев согласия.

Для случая принадлежностивыборки нормальному закону предельные распределения статистики критерия ω2Мизеса при использовании оценок максимального правдоподобия для оцениванияодного или обоих параметров закона были исследованы в [10] аналитическими методами.

В некоторых частных случаяхпроверки сложных гипотез, например при оценивании параметров распределенийэкспоненциального, нормального, экстремальных значений, Вейбулла и некоторыхдругих законов, таблицы процентных точек для предельных распределений статистикнепараметрических критериев были получены с использованием методовстатистического моделирования [11] - [14].

В [15] - [19]для статистик типа Колмогорова - Смирнова и некоторых законов, соответствующихгипотезе H0, получены формулы для приближенного вычислениявероятностей «согласия» вида P{S>S*}, где S* - вычисленное по выборкезначение соответствующей статистики S. Полученные формулы даютдостаточно хорошие приближения при малых значениях соответствующих вероятностей.

В [20], [21] врезультате компьютерного моделирования распределений статистикнепараметрических критериев для ряда законов, соответствующих гипотезе H0, найдены аналитическипростые модели, которые хорошо аппроксимируют предельные распределениястатистик непараметрических критериев согласия в случае проверки сложныхгипотез и оценивания по выборке параметров методом максимального правдоподобия.В [22],[23]методами статистического моделирования исследовано влияние на распределениястатистик непараметрических критериев согласия при простых и сложных гипотезахобъема наблюдаемой выборки и применяемого метода оценивания параметров. В [24]получены аналитически простые модели предельных распределений статистикнепараметрических критериев для случая, когда при проверке сложных гипотезоценки параметров находят в результате минимизации статистики используемогокритерия.

Построенные таблицыпроцентных точек и предельные распределения статистик непараметрическихкритериев ограничены относительно узким кругом сложных гипотез. Предельныераспределения статистик (или процентные точки распределений) при проверкесложных гипотез получены лишь для порядка 15 законов, в то время как множествовероятностных моделей, используемых в приложениях для описания реальных случайныхвеличин, существенно шире.

2.3.2 Методика компьютерного анализастатистических закономерностей

Очевидно, что бесконечноемножество случайных величин, с которым приходится сталкиваться на практике, неможет быть описано ограниченным подмножеством моделей законов распределений,наиболее часто используемых для описания реальных наблюдений в приложениях.Любой исследователь для конкретной наблюдаемой величины может предложить(построить) свою параметрическую модель закона, наиболее адекватно, с его точкизрения, описывающего эту случайную величину. После оценки по данной выборкепараметров модели возникает необходимость проверки сложной гипотезы обадекватности выборочных наблюдений и построенного закона с использованиемкритериев согласия.

Множество всех сложныхгипотез бесконечно и заранее иметь распределения G(S½H0) для любой сложной гипотезыH0 практически невозможно. Именно поэтому найденныеразличным образом предельные распределения статистик непараметрическихкритериев согласия представлены в литературных источниках лишь дляограниченного ряда распределений, наиболее часто используемых в приложениях,особенно в задачах контроля качества и исследования надежности. Что же делать,если для описания выборки используется закон распределения вероятностей F(x,θ) инайдена оценка его параметра , а для проверки сложной гипотезы H0: F(x)Î {F(x, θ), θ Î Q}, исследователю неизвестно распределение G(S½H0) статистикисоответствующего критерия согласия?

Наиболее целесообразновоспользоваться методикой компьютерного анализа статистических закономерностей,хорошо зарекомендовавшей себя при моделировании распределений статистиккритериев [20]- [25].

Для этого следует всоответствии с законом F(x,) смоделировать N выборок того же объема n,что и выборка, для которой необходимо проверить гипотезу H0: F(x)Î {F(x, θ), θ Î Q}. Далее для каждой из N выборок вычислитьоценки тех же параметров закона, а затем значение статистики S соответствующегокритерия согласия. В результате будет получена выборка значений статистики S1 S2, ..., SN с законом распределения G(Sn½H0) для проверяемой гипотезы H0. По этой выборке придостаточно большом N можно построить достаточно гладкую эмпирическуюфункцию распределения GN(Sn½H0), которой можнонепосредственно воспользоваться для вывода о том, следует ли принимать гипотезуH0. При необходимости, можно по GN(Sn½H0) построить приближеннуюаналитическую модель, аппроксимирующую GN(Sn½H0), и тогда уже, опираясь наэту модель, принимать решение относительно проверяемой гипотезы.

Как показывает практика,хорошей аналитической моделью для GN(Sn½H0) часто оказывается один изследующих четырех законов: логарифмически нормальный, гамма-распределение,распределение Su-Джонсона или распределение Sl-Джонсона [21],[24].Во всяком случае, всегда можно, опираясь на ограниченное множество законовраспределения, построить модель в виде смеси законов [26], [27].

Реализация такой процедурыкомпьютерного анализа распределения статистики не содержит ни принципиальных,ни практических трудностей. Уровень вычислительной техники позволяет оченьбыстро получить результаты моделирования, а реализация алгоритма под силуинженеру, владеющему навыками программирования.

В то же время такая методикаанализа распределений статистик имеет и недостатки, связанные с ограниченнойточностью построения закона распределения статистики и возможным влияниемкачества используемого датчика псевдослучайных чисел [28]. Поэтому при еереализации обязательно следует контролировать качество датчиков, генерирующихчисла в соответствии с требуемыми законами «наблюдаемых» случайных величин.Современные системы программирования включают в себя достаточно хорошиедатчики, генерирующие псевдослучайные числа, распределенные по равномерномузакону. При необходимости построения собственного датчика можно воспользоватьсяалгоритмами моделирования, изложенными в [29].

Точность построения законараспределения статистики на основании GN(Sn½H0), конечно, можноповышать, увеличивая N. По оценкам [20] - [24],отклонения смоделированного распределения от теоретического при N= 2000обычно имеют порядок ≈ ± 0,015. Если поставить такую цель, то,аппроксимируя эмпирические распределения теоретическими законами и усредняя ихпо реализациям (при многократном моделировании), можно, при необходимости,добиться более высокой точности построения закона распределения исследуемойстатистики. Опираясь на построенное распределение GN(Sn½H0), можно достаточно точнооценить значение P{S>S*}, но знамения процентных точек, полученные по GN(Sn½H0), могут оказаться ссущественной погрешностью. На практике же, проверяя различные гипотезы, чащесравнивают полученное значение статистики S* с соответствующейпроцентной точкой предельного распределения, что является менее информативнымдля принятия решения. Более предпочтительно принимать решение по достигнутомууровню значимости P{S>S*}.

Во всех приводимых далеепримерах, иллюстрирующих распределения статистик критериев GN(Sn½Hi), , в зависимости от различных факторов с применениемизложенной методики число моделируемых выборок N принимали равным 2000, а ихобъем п, кроме особо отмеченных случаев, равным 1000.

2.3.3 Факторы, влияющиена распределения статистик критериев при проверке сложных гипотез

Распределения статистикнепараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез зависят отхарактера этой сложной гипотезы. На закон распределения статистики G(S½H0) влияют следующие факторы,определяющие «сложность» гипотезы:

- вид наблюдаемого законараспределения F(х, θ), соответствующего истиннойгипотезе H0;

- тип оцениваемого параметраи число оцениваемых параметров;

- в некоторых ситуацияхконкретное значение параметра (например, в случае гамма-распределения);

- используемый методоценивания параметров.

При малых объемах выборки праспределение G(Sn½H0) зависит от п. Однакосущественная зависимость распределения статистики от п наблюдаетсятолько при небольших объемах выборки. Уже при n ≥ 15 - 20распределение G(Sn½H0) достаточно близко кпредельному G(S½H0) и зависимостью от п можнопренебречь.

В случае задания конкретнойальтернативы [конкурирующей гипотезы H1 которой соответствуетраспределение F1(x,θ)],функция распределения статистики G(S½H1) также зависит от всехперечисленных факторов. Но в отличие от G(S½H0) распределение статистики G(S½H1) при справедливой гипотезе H1 очень сильно зависит отобъема выборки п. Именно благодаря этому с ростом п повышаетсяспособность критериев различать гипотезы и возрастает мощность критериев.

2.3.4 Влияние объемавыборки на распределения статистик непараметрических критериев при простых исложных гипотезах

В случае проверки простыхгипотез предельными распределениями статистик критериев Колмогорова и Смирноваможно пользоваться при п > 20 [3]. Исследование методамистатистического моделирования зависимости распределений статистик всехрассматриваемых здесь непараметрических критериев от объема выборки припроверке различных как простых, так и сложных гипотез показывает, что это справедливово всех случаях.

Например, рисунок 1иллюстрирует, как при увеличении объема выборки (п = 5, 10, 20) меняется распределение G(Sn½H0) статистики Колмогорова SKв случае проверки простой гипотезы о принадлежности выборки нормальномузакону. На этом рисунке отражено также предельное распределение статистики -функция распределения Колмогорова K(S). Эмпирическиераспределения GN(Sn½H0) при больших п практическисливаются с K(S), и на рисунке онине показаны. Как видно, при малых п распределение существенно отличаетсяот предельного, но уже при п ≥ 15 - 20 ошибка при вычислениивероятности «согласия» P{S>S*} оказывается достаточно малой.

Рисунок 1 - Зависимость от праспределений G(Sn½H0) статистики SKКолмогорова при простой гипотезе (H0 - нормальноераспределение): п = 5, 10, 20. K(S) - функцияпредельного распределения Колмогорова

Рисунок 2 - Зависимость от nраспределений G(Sn½H0) статистики SKКолмогорова при сложной гипотезе (H0 - нормальное распределение,ОМП): п = 5, 10, 20, 1000

Та же самая картинанаблюдается в случае проверки сложных гипотез о согласии. На рисунке 2 при п= 5, 10, 20, 1000 представлены распределения G(Sn½H0) статистики SKв случае проверки аналогичной, но уже сложной, гипотезы о нормальности,когда по выборке вычисляют оценки максимального правдоподобия (ОМП) параметровнормального закона.

При малых п наибольшиеотклонения от предельных распределений наблюдаются на «хвостах». И при простых,и при сложных гипотезах с ростом п распределения G(Sn½H0) равномерно сходятся кпредельному. Но если в случае простых гипотез с ростом п увеличиваетсявероятность больших значений статистик, то в случае сложных возрастаютвероятности и больших, и малых значений статистик. Последнее замечаниесправедливо для распределений статистик SK, Sω, SΩ.

Рисунок 3 иллюстрирует изменения с ростом п распределений G(Sn½H0) статистики Крамера -Мизеса - Смирнова Sω при проверке сложной гипотезы онормальности и использовании при оценивании параметров метода максимальногоправдоподобия. Чтобы подчеркнуть разницу в распределениях статистик при простыхи сложных гипотезах, на указанном рисунке приведены G(Sn½H0) для п = 5, 20, 1000и a1(S) - предельная функция распределения статистики Sω при проверке простойгипотезы.

Рисунок 3 - Зависимость от праспределений G(Sn½H0) статистики Sω Крамера - Мизеса - Смирновапри сложной гипотезе (H0 - нормальное распределение,ОМП): n = 5, 20, 1000

Таким образом, распределенияG(Sn½H0) статистикнепараметрических критериев при простых и сложных гипотезах с ростом п оченьбыстро сходятся к предельным, и уже при п ≥ 15 - 20 можно, неопасаясь больших ошибок, пользоваться этими предельными законами при анализеданных.

Однако последний вывод неозначает, что при малых объемах выборок с помощью этих критериев можно успешноразличать близкие гипотезы. Для надежного различения близких законовраспределения, в частности с помощью критерия согласия Колмогорова, можетпотребоваться выборка достаточно большого объема [30].

2.3.5 Влияние объемавыборки на мощность непараметрических критериев при простых и сложных гипотезах

Способность различатьблизкие гипотезы зависит от того, насколько сильно различаются распределения G(Sn½H0) и G(Sn½H1).

Предложены к рассмотрениюдве близкие гипотезы: H0 - нормальное распределениес плотностью  и параметрами μ= 0, σ = 1; H1 - логистическое с такими же параметрами μ =0, σ = 1 и плотностью . О близости этих законов распределения можно судить порисунку 4,на котором представлены их функции распределения. Рисунок 5иллюстрирует зависимость от п распределений G(Sn½H1) статистики SKКолмогорова при проверке простой (п= 20, 100, 500, 1000), а рисунок 6 - при проверке сложнойгипотезы H0 (при использовании ОМП).

Рисунок 4 - Функциираспределения нормального и логистического законов

Рисунок 5 - Зависимость от праспределений G(Sn½H1) статистики SKКолмогорова при простой гипотезе (H0 - нормальное распределение, H1 - логистическое): п = 20,100, 500, 1000

Рисунок 6 - Зависимость от праспределений G(Sn½H1) статистики SKКолмогорова при сложной гипотезе (H0 - нормальное распределение,H1 - логистическое, ОМП): п = 20, 100, 500, 1000

На рисунках 7, 8 длясравнения представлены распределения G(Sn½H1) статистики Sω при проверке простой(рисунок 7)и сложной гипотезы (рисунок 8) для тех же самых альтернатив H0 и H1. Для данной парыальтернатив в случае проверки сложной гипотезы критерий согласия типа ω2Крамера - Мизеса - Смирнова обладает несколько большей мощностью при различенииблизких гипотез, чем критерий типа Колмогорова, а в случае простых - наоборот.

Рисунок 7 - Зависимость от п распределений G(Sn½H1) статистики Sω Крамера - Мизеса - Смирновапри простой гипотезе (H0 - нормальное распределение, H1 - логистическое): п =20, 100, 500, 1000

Рисунок 8 - Зависимость от праспределений G(Sn½H1) статистики Sω Крамера - Мизеса - Смирновапри сложной гипотезе (H0 - нормальное распределение,H1 - логистическое, ОМП): п = 20, 100, 500, 1000

С точки зрения практическогоиспользования критериев важны два момента, которые подтверждены результатамиисследований и хорошо иллюстрированы рисунками 5 - 8. Во-первых, очевидно, что прималых выборках пытаться различать с помощью непараметрических критериевсогласия близкие гипотезы (особенно простые) абсолютно бесполезно. Во-вторых,мощность непараметрических критериев при проверке сложных гипотез при тех жеобъемах выборок п всегда существенно выше, чем при проверке простых.

При проверке простых гипотезнепараметрические критерии типа Колмогорова, Смирнова, ω2 и Ω2 Мизеса уступают по мощностикритериям типа χ2, особенно, если в последних используетсяасимптотически оптимальное группирование [31] - [34].Но при проверке сложных гипотез непараметрические критерии оказываются болеемощными. Для того чтобы воспользоваться их преимуществами, надо только знатьраспределение G(Sn½H0) при проверяемой сложнойгипотезе.

2.3.6 Влияние методаоценивания на распределения статистик непараметрических критериев при сложныхгипотезах

Распределения статистиккритериев согласия существенно зависят от метода оценивания параметров, то естькаждому типу оценок при конкретной сложной проверяемой гипотезе соответствуетсвое предельное распределение G(Sn½H0) статистики. В данномслучае по вполне очевидным причинам при проверке сложных гипотез сравнимрезультаты использования ОМП и МD-оценок. Приминимизации некоторого расстояния между эмпирической и теоретической функциямираспределения получаются МD-оценки. Оценкимаксимального правдоподобия предпочтительны благодаря своим асимптотическимсвойствам [35],[36],а в случае MD-оценок может минимизироваться значение статистики,используемой в критерии.

ОМП вычисляют в результатемаксимизации по θ функции правдоподобия

                                                      (21)

или ее логарифма

.                                             (22)

Чаще всего в случаескалярного параметра ОМП определяют как решение уравнения, а в случаевекторного параметра - как решение системы уравнений правдоподобия вида

                                 (23)

где m - размерность векторапараметров θ. В общем случае эта система нелинейна и, за редкимисключением, решаема только численно.

При практическомиспользовании критериев необходимо иметь в виду следующее. В данном случае, каки в [20]- [24],при построении распределений статистик и исследовании их зависимости от методаоценивания ОМП вычисляли как решение системы (23). Если использовать грубыеприближения ОМП, то это соответственно отражается на распределениях статистик исвойствах критериев.

При вычислении МD-оценокминимизируется соответствующее расстояние между эмпирическим и теоретическимраспределениями. При использовании статистики Колмогорова SKв качестве оценки вектора параметров θ выбирают значения,минимизирующие эту статистику:

                                                          (24)

(MD-оценки SK). Аналогично, при использовании статистики Sω минимизируется по θстатистика Sω:

                                                          (25)

(MD-оценки Sω). При использовании статистики SΩ -

                                                          (26)

(MD-оценки SΩ).

Вид используемой оценкиоказывает существенное влияние на распределения статистик критериев согласия.Степень влияния метода оценивания на распределение статистики иллюстрируетрисунок 9,на котором показаны полученные в результате моделирования плотностираспределения g(Sn½H0) статистики критериятипа Колмогорова SKпри вычислении оценокпараметра сдвига нормального распределения тремя различными методами:минимизацией статистики SK, минимизацией статистики Sω и методом максимальногоправдоподобия. Функция плотности распределения Колмогорова обозначена нарисунке как k (S).

Рисунок 9 - Плотностираспределения g(Sn½H0) статистики SKпри проверке сложной гипотезы (H0 - нормальный закон,оценивание сдвига с использованием 1 - МD-оценокSK; 2 - МD-оценок Sω; 3 - ОМП). k (S) - плотностьраспределения Колмогорова

При использовании ОМПраспределения статистик сильно зависят от соответствующего проверяемой гипотезеH0 закона F(x,θ). Нарисунке 10приведены эмпирические распределения G(Sn½H0) статистики Колмогорова SK, когда при проверке сложной гипотезы два параметра закона,соответствующего гипотезе H0, оценивали сиспользованием метода максимального правдоподобия. При этом на рисунке показаныраспределения статистики G(Sn½H0), когда гипотеза H0 соответствует законам:нормальному, логистическому, Лапласа с плотностью, распределению наименьшего значения с плотностью , распределению Коши с плотностью .

Рисунок 10 - Распределения G(Sn½H0) статистики Колмогорова SKпри оценивании двух параметров закона, соответствующего гипотезе H0 (здесь и далее:
1 - нормального; 2 - логистического; 3 - Лапласа; 4- наименьшего значения; 5 - Коши), при использовании ОМП. K(S) - функция распределенияКолмогорова

При использовании МD-оценок, минимизирующихстатистику применяемого критерия согласия, влияние закона F(х, θ), соответствующего проверяемой гипотезе H0, проявляется менеезначительно. На рисунке 11 показаны распределения G(Sn½H0) той же статистики SKпри проверке тех же гипотез, но с использованием MD-оценок параметров,полученных минимизацией по параметрам статистики SK.

На рисунке 12приведены распределения статистики Sω для аналогичных гипотез H0 при использовании ОМП, а нарисунке 13- при использовании MD-оценок, минимизирующих попараметрам статистику Sω.

При использовании МD-оценок,минимизирующих по параметрам статистику Sω, эмпирические распределениясмоделированных распределений G(Sn½H0) практически совпадают длязаконов нормального, логистического, Лапласа, наименьшего значения,максимального значения с плотностью , распределения Вейбулла с плотностью ихорошо аппроксимируются логарифмически нормальным законом с плотностью и параметрами μ = -3,2702; σ = 0,4719.

Рисунок 11 - Распределения G(Sn½H0) статистики Колмогорова SKпри оценивании двух параметров закона, соответствующего гипотезе H0, при использовании MD-оценокSK. K(S) - функцияраспределения Колмогорова, предельная при простой гипотезе

Рисунок 12 - Распределения G(Sn½H0) статистики Sω Крамера - Мизеса - Смирновапри оценивании двух параметров закона, соответствующего гипотезе H0, при использовании ОМП. a1(S)- функция распределения, предельная при простой гипотезе

Рисунок 13 - Распределения G(Sn½H0) статистики Sω Крамера - Мизеса - Смирновапри оценивании двух параметров закона, соответствующего гипотезе H0, при МD-оценкахSω

Распределения статистиккритериев согласия при использовании MD-оценок (как и в случаеиспользования ОМП) существенно зависят от того, какой параметр оценивали. Нарисунке 14показаны распределения G(Sn½H0) статистики Sω Крамера - Мизеса - Смирновапри использовании MD-оценок Sω и оценивании масштабногопараметра закона, соответствующего гипотезе H0. На рисунке 15представлены аналогичные распределения статистик, но при оценивании для тех жераспределений параметра сдвига. Распределения статистик в случае оцениванияпараметра сдвига распределения максимального значения и масштабного параметрараспределения Вейбулла совпадают с распределением статистики для распределенияминимального значения.

Если обратить внимание нарисунок 16,на котором отображены распределения G(Sn½H0) статистики Sω при проверке согласия сраспределениями экспоненциальным , полунормальным , Рэлея , Максвелла , модуля m - мерного (т = 5) нормального вектора  при оценивании масштабного параметрасоответствующего закона с использованием MD-оценок Sω, то можно заметить, чтораспределения статистик близки к приведенным на рисунке 15. Распределениястатистик, показанные на рисунке 16, например, достаточно хорошо аппроксимируютсялогарифмически нормальным законом с параметрами μ = -2,8484; σ =0,5669.

Рисунок 14 - Распределения G(Sn½H0) статистики Sω Крамера - Мизеса - Смирновапри оценивании масштабного параметра закона, соответствующего гипотезе Н0,(6 - максимальногозначения; 7 - Вейбулла, параметр формы), при использовании MD-оценокSω

Рисунок 15 - Распределения G(Sn½H0) статистики Sω Крамера - Мизеса - Смирнова при оцениваниипараметра сдвига, соответствующего гипотезе H0, при МD-оценках Sω

Рисунок 16 - Распределения G(Sn½H0) статистики Sω Крамера - Мизеса - Смирновапри оценивании масштабного параметра закона, соответствующего гипотезе H0, (1- экспоненциального;2 - полунормального; 3 - Рэлея; 4 - Максвелла; 5 -модуля 5-мерного нормального вектора), при использовании МD-оценокSω

Таким образом, применяянепараметрические критерии согласия, следует непременно учитывать используемыйметод оценивания. При этом в случае метода максимального правдоподобияраспределения статистик G(Sn½H0) очень сильно зависят отзакона, соответствующего гипотезе H0. Разброс распределений G(Sn½H0) при использовании МD-оценок,минимизирующих статистику критерия, зависит от закона F(х, θ), соответствующего гипотезе H0, в существенно меньшейстепени.

2.3.7 Метод оценивания имощность непараметрических критериев согласия

При использовании МD-оценок,минимизирующих статистику критерия, эмпирические распределения G(Sn½H0), соответствующиеразличным гипотезам H0, имеют минимальный разброс,что означает определенную «свободу от распределения» для рассматриваемых критериеви предполагает применение MD-оценок при проверкесложных гипотез. Но если исследовать мощность рассматриваемых критериев приразличных методах оценивания, то оказывается, что максимальную мощностьнепараметрические критерии при близких альтернативах имеют в случае оцениванияпараметров методом максимального правдоподобия.

Способность применяемогокритерия различать альтернативы H0 и H1 зависит от его мощности 1 -β при заданном уровне значимости а, а именно от того, насколькосущественно отличаются распределения статистики G(Sn½H0) и G(Sn½H1). При одинаковых объемахвыборок п отличие распределений G(Sn½H0) и G(Sn½H1) в случае использования ОМПболее значительно, а следовательно, критерий оказывается более мощным, чем вслучае использования MD-оценок.

Например, рисунок 17иллюстрирует зависимость от п распределений G(Sn½H1) статистики SK Колмогорова при проверке сложной гипотезы при паре альтернатив H0 - нормальное распределение,H1 - логистическое и использовании MD-оценокSK, а рисунок 18 - зависимость от п распределенийG(Sn½H1) статистики Sω Крамера - Мизеса - Смирнова при использовании MD-оценокSω.

Сравнивая рисунок 17 срисунком 6,а рисунок 18с рисунком 8,можно убедиться, что в случае использования метода максимального правдоподобиямощность критериев типа Колмогорова и типа ω2 Мизеса многовыше, чем при использовании соответствующих MD-оценок. Аналогичная картинасправедлива и для критерия типа Ω2 Мизеса со статистикой SΩ Андерсона - Дарлинга.

Рисунок 17 - Зависимость от п распределений G(Sn½H1) статистики SKКолмогорова при сложной гипотезе (Н0 -нормальное распределение; H1 - логистическое; MD-оценкиSK): n = 20, 100, 500, 1000

Рисунок 18 - Зависимость от праспределений G(Sn½H1) статистики Sω Крамера - Мизеса - Смирновапри сложной гипотезе (H0 - нормальное распределение;H1 - логистическое; MD-оценки Sω): п = 100, 500, 1000

Для того чтобы сравнить помощности непараметрические критерии согласия для рассматриваемой пары близкихгипотез H0 и H1 при использовании ОМП, нарисунке 19приведены распределения G(Sn½H0) и G(Sn½H1) при п = 20, 100,500, 1000 для статистики SΩ Андерсона - Дарлинга, а нарисунке 20- для статистики Sm Смирнова.

Рисунок 19 - Зависимость от nраспределений G(Sn½H1) статистики SΩ Андерсона - Дарлинга присложной гипотезе (H0 - нормальное распределение;H1 - логистическое; ОМП): п = 20, 100, 500,1000

Рисунок 20 - Зависимость от праспределений G(Sn½H1) статистики Sm Смирнова при сложнойгипотезе (H0 - нормальное распределение; H1 - логистическое; ОМП): n =20, 100, 500, 1000

Анализируя распределения нарисунках 6,8, 19 и 20 можно заметить, что наиболее мощным для даннойпары гипотез является критерий Ω2со статистикой SΩ Андерсона - Дарлинга, затемкритерий ω2 со статистикой Sω Крамера - Мизеса - Смирнова,далее критерий Колмогорова со статистикой SKнапоследнем месте критерий Смирнова со статистикой Sm.Данноенаблюдение о порядке предпочтения критериев хорошо согласуется с опытом ихприменения.

Почему мощностьрассматриваемых критериев при проверке близких гипотез в случае ОМП выше, чемпри MD-оценках, достаточно логично объясняет следующая версия.Использование MD-оценок, минимизирующих статистику критерия,приводит к распределению G(S½H0) с меньшим параметроммасштаба (к более крутой функции распределения), чем в случае ОМП. Но с другойстороны, MD-оценки в отличие от ОМП являются робастными, онименее чувствительны к малым отклонениям выборки от предполагаемого законараспределения. Поэтому функция распределения G(Sn½H1) оказывается ещеболее крутой по отношению к аналогичному распределению при использовании ОМП.

2.3.8 Зависимостьраспределений статистик непараметрических критериев от конкретных значенийпараметра

В некоторых случаяхпредельные распределения G(S½H0) рассматриваемых статистикпри проверке сложных гипотез зависят от конкретных значений параметровраспределения, с которым проверяют согласие. В частности, распределения G(S½H0) непараметрическихкритериев согласия в случае проверки согласия с гамма-распределением сплотностью

зависят от его параметра формы θ0.Для иллюстрации приведены лишь распределения G(S½H0) статистики Колмогорова SK. Нарисунке 21показаны распределения статистики при оценивании по выборке параметра формы, нарисунке 22- масштабного параметра, на рисунке 23 - двух параметровраспределения. На этих рисунках цифрами по порядку помечены функциираспределения статистики: 1 - при θ0 = 0,5; 2 - приθ0 = 1,0; 3 - при θ0 = 2,0; 4 -при θ0 = 3,0; 5 - при θ0 = 5,0. Длясравнения приведена функция распределения Колмогорова K(S).

С ростом θ0предельные распределения статистик сходятся к предельным распределениямстатистик для выборок из нормального закона. При значениях θ0> 5 эмпирические распределения статистик при оценивании двух параметровпрактически совпадают и хорошо согласуются с распределением соответствующейстатистики для нормального закона.

Общая картина принципиальносохраняется и для распределений других непараметрических статистик.

Рисунок 21 - Функциираспределения статистики SKКолмогорова при вычисленииОМП параметра формы гамма-распределения. K(S) - функция распределенияКолмогорова

Рисунок 22 - Функциираспределения статистики SKКолмогорова при вычисленииОМП масштабного параметра гамма-распределения. K(S) - функцияраспределения Колмогорова

Рисунок 23 - Функциираспределения статистики SKКолмогорова при оцениванииметодом максимального правдоподобия одновременно двух параметровгамма-распределения. K(S) - функцияраспределения Колмогорова

2.3.9Выводы

На основании изложенноговыше можно сформулировать следующие выводы и дать рекомендации.

Распределения статистикнепараметрических критериев согласия при простых и сложных гипотезах с ростом пбыстро сходятся к предельным законам. Уже при п > 20, неопасаясь больших ошибок, можно пользоваться этими предельными законами длявычисления достигаемого уровня значимости P{S>S*}.

В то же время надо иметь ввиду, что различать близкие гипотезы (особенно простые) при малых выборках спомощью непараметрических критериев согласия невозможно.

Мощность непараметрическихкритериев при проверке сложных гипотез при тех же объемах выборок п всегдасущественно выше, чем при проверке простых.

При проверке сложных гипотезраспределения статистик G(Sn½H0) непараметрическихкритериев зависят не только от закона распределения F(х,θ),соответствующего гипотезе H0, числа и вида оцениваемыхпараметров (иногда конкретного значения параметра), но и от используемогометода оценивания параметров. Ни в коем случае нельзя, оценивая параметры однимметодом, использовать (предельный) закон распределения статистики, построенныйдля другого метода оценивания.

В случае применения MD-оценок,минимизирующих статистику используемого критерия согласия, распределениястатистик непараметрических критериев в меньшей степени подвержены зависимостиот вида F(x,θ),соответствующего гипотезе Н0. Однако наиболее мощнымиэти критерии оказываются при использовании ОМП.

В случае простых гипотез ипри близких альтернативах непараметрические критерии согласия уступают помощности критериям типа χ2. В случае проверки сложных гипотез -преимущество за непараметрическими критериями согласия. В то же времярекомендуется при проверке гипотез о согласии не останавливаться наиспользовании одного из критериев согласия, так как каждый из критериевпо-разному улавливает различные отклонения эмпирического распределения оттеоретического.

Изложенная опробованнаяметодика моделирования распределений статистик при корректном ее примененииможет быть рекомендована для построения статистических закономерностей вситуации, когда аналитическими методами не удается решить задачу.

Применение при проверкесложных гипотез распределений статистик критериев согласия, представленных внастоящих рекомендациях, правомерно при использовании ОМП или MD-оценоксоответственно. Некорректно использование оценок по методу моментов (заисключением тех ситуаций, когда оценки по методу моментов совпадают с ОМП),использование различных оценок по наблюдениям, сгруппированным в интервалы.Некорректно вычисление значений статистик непараметрических критериев согласияпо группированным наблюдениям.

3 Порядок проверкигипотез о согласии

3.1 Порядок проверкипростой гипотезы о согласии

При проверке согласияопытного распределения с теоретическим распределением случайной величины Xдействуют следующим образом.

а) Формулируют проверяемуюгипотезу, выбирая теоретическое распределение случайной величины, согласиекоторого с опытным распределением этой величины следует проверить.

б) Из совокупности отбираютслучайную выборку объема п. Полученные результаты наблюдений располагаютв порядке их возрастания, так что в распоряжении имеют упорядоченную выборкузначений

x1х2 ≤ ... ≤ хn.

в) В соответствии свыбранным критерием проверки вычисляют значение статистики S* критерия [по формулам (6), (12), (15) или(16)].

г) В соответствии свыбранным критерием проверки вычисляют значение

P{S>S*}где G(S½H0) - распределение статистикикритерия при справедливости гипотезы H0. Если P{S>S*} > α, где α - задаваемый уровень значимости, тонет оснований для отклонения проверяемой гипотезы. В противном случаепроверяемую гипотезу Н0 отвергают.

Можно вычисленное значение статистикиS* сравнить с критическим значением Sα, определяемым из условия. Гипотезу о согласии отвергают, если значениестатистики попадает в критическую область, т.е. при S*>Sα.

3.1.1 Критерий Колмогорова при простойгипотезе

Порядок проверки простойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим - в соответствии с 3.1,перечисления а) - г).

В случае выбранного критерияКолмогорова:

а) Значение статистикиКолмогорова SKвычисляют по формуле (6) наосновании формул (7) - (9).

б) Значение вероятности P{S>S*K} = 1 - K(S*K) вычисляют по функциираспределения Колмогорова [формула (5)] или берут из таблицы А.1.

в) Критические значениякритерия Sα призаданном α могут быть взяты из таблицы А.2.

3.1.2 Критерий Смирнова при простой гипотезе

Порядок проверки простойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим - в соответствии с 3.1,перечисления а) - г).

В случае выбранного критерияСмирнова:

а) Значение статистикиСмирнова Sm вычисляютпо формуле (12)на основании формул (8), (9).

б) Значение вероятности P{Sm>S*m}= вычисляют по функции χ22 -распределения (с двумя степенями свободы).

в) Гипотезу H0 не отвергают, если длявычисленного по выборке значения статистики S*m

P{Sm>S*m} = .

3.1.3 Критерий ω2 Крамера -Мизеса - Смирнова при простой гипотезе

Порядок проверки простойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим - в соответствии с 3.1,перечисленная а) - г).

В случае выбранного критерияКрамера - Мизеса - Смирнова:

а) Значение статистикиКрамера - Мизеса - Смирнова Sω вычисляют по формуле (16).

б) Значение вероятности P{Sω>S*ω} = 1 - a1(S)вычисляют по функции распределения a1(S)(17)или берут из таблицы А.3.

в) Критические значениякритерия Sα призаданном α могут быть взяты из таблицы А.4.

г) Гипотезу H0 не отвергают, если длявычисленного по выборке значения статистики S*ω

P{Sω>S*ω} = 1 - a1(S*ω) >α.

3.1.4 Критерий Ω2 Андерсона -Дарлинга при простой гипотезе

Порядок проверки простойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим - в соответствии с 3.1,перечисления а) - г).

В случае выбранного критерияΩ2 Андерсона - Дарлинга:

а) Значение статистикиАндерсона - Дарлинга SΩ вычисляют по формуле (19).

б) Значение вероятности P{SΩ>S*Ω} = 1 - a2(SΩ) > α вычисляют по функциираспределения a2(S) (20) или берут изтаблицы А.5.

в) Критические значениякритерия Sα призаданном α могут быть взяты из таблицы А.6.

г) Гипотезу H0 не отвергают, если длявычисленного по выборке значения статистики S*Ω

P{SΩ>S*Ω}= 1 - a2(S*Ω)> α.

3.2 Порядок проверки сложной гипотезы

При проверке согласияопытного распределения с теоретическим распределением случайной величины X действуютследующим образом.

а) Формулируют проверяемуюгипотезу, выбирая теоретическое распределение F(х,θ)случайной величины, согласие которого с опытным распределением этой величиныследует проверить. Перечень теоретических распределений, для которых возможнапроверка сложных гипотез с использованием данных рекомендаций, приведенв 3.2.7.

б) Из совокупности отбираютслучайную выборку объема п. Полученные результаты наблюдений располагаютв порядке их возрастания, так что в распоряжении имеют упорядоченную выборкузначений

x1х2≤ ... ≤ хn.

в) По выборке вычисляютоценки параметров распределения F(х,θ),выбранного в соответствии с перечислением а) [оценки максимальногоправдоподобия на основании формул (21) - (23) или MD-оценки,минимизирующие статистику критерия на основании, соответственно, формул (24), (25) или (26)].

г) В соответствии свыбранным критерием проверки вычисляют значение статистики S* критерия[по формулам (6),(12),(15)или (16)].

д) В соответствии свыбранным критерием проверки, теоретическим распределением F(x, θ), оцененнымпараметром или параметрами, используемым методом оценивания определяютраспределение статистики критерия G(S½H0) при справедливостигипотезы H0.

е) На основании выбранного всоответствии с перечислением д) распределения G(S½H0) вычисляют значение

P{S>S*} = .

ж) Если P{S>S*}>α, гдеα - задаваемый уровень значимости, то нет оснований для отклоненияпроверяемой гипотезы. В противном случае проверяемую гипотезу H0 отвергают. Можновычисленное значение статистики S* сравнить с критическимзначением Sα, определяемым из условияα =. Гипотезу о согласии не отвергают, если S* < Sα.

Если закон распределения,относительно которого проверяют гипотезу о согласии с использованиемнепараметрического критерия, не входит в перечень, приведенный в 3.2.7,то для построения распределения статистики G(S½H0), соответствующегопроверяемой гипотезе Н0, рекомендуется воспользоватьсяметодикой компьютерного анализа, изложенной в 2.3.2.

3.2.1 Проверка сложной гипотезы о согласии покритерию типа Колмогорова

Порядок проверки сложнойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим по критерию типаКолмогорова - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения,связанные с указанным видом статистики, следующие.

а) Оценку скалярного иливекторного параметра распределения F(x,θ)можно вычислять методом максимального правдоподобия на основании формул (21) - (23) илипри минимизации статистики SKна основании формулы (24).

б) Значение статистикиКолмогорова SK(при использовании ОМП) илиее минимума [при использовании MD-оценок - формула (24)]вычисляют по формуле (6) на основании формул (7) - (9).

в) Распределение G(SK½H0) в случае использования ОМПв соответствии с теоретическим распределением F(x,θ), оцененным параметром илипараметрами выбирают из таблицы А.7. Критическиезначения критерия Sα при заданном α могутбыть взяты из таблицы А.8.

г) В случае использования MD-оценок[формула (26)]распределение G(SK½H0) выбирают из таблицы А.9, акритические значения критерия Sα могут быть взяты из таблицы А.10.

д) Гипотезу о согласии неотвергают, если P{S>S*K} = 1 - G(SK½H0) > α (или S*K <Sα).

3.2.2 Проверка сложной гипотезы о согласии покритерию типа Смирнова

Порядок проверки сложнойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим с использованиемкритерия типа Смирнова - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применениякритерия типа Смирнова следующие.

а) Оценку скалярного иливекторного параметра распределения F(x,θ)вычисляют методом максимального правдоподобия [формулы (21) - (23)].

б) Значение статистикиСмирнова Sm вычисляютпо формуле (12)на основании формул (8), (9).

в) Распределение G(Sm½H0) в случае использования ОМПв соответствии с теоретическим распределением F(x,θ),оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.11.Критические значения критерия Sα при заданном α могут быть взяты из таблицы А.12.

г) Гипотезу о согласии неотвергают, если P{S>S*m} = 1 - G(S*m½H0) > α (или S*m <Sα).

3.2.3 Проверка сложной гипотезы о согласии покритерию типа ω2 Мизеса

Порядок проверки сложнойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим по критерию типаω2 Мизеса - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применениякритерия типа ω2 Мизеса следующие.

а) Оценка скалярного иливекторного параметра распределения F(х,θ)может быть вычислена методом максимального правдоподобия на основании формул (21) - (23) илипри минимизации статистики Sω на основании формулы (25).

б) Значение статистикиКрамера - Мизеса - Смирнова Sω (при использовании ОМП) или ее минимума [при использовании MD-оценокформула (25)]вычисляют по формуле (16).

в) Распределение G(Sω½H0) в случае использования ОМПв соответствии с теоретическим распределением F(x,θ),оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.13.Критические значения критерия Sα при заданном α могутбыть взяты из таблицы А.14.

г) В случае использования MD-оценок[формула (27)] распределение G(Sω½H0) выбирают из таблицы А.15.Критические значения критерия Sα могут быть взяты из таблицы А.16.

д) Гипотезу о согласии неотвергают, если P{S>S*ω} = 1 - G(S*ω½H0) > α (или S*ω <Sα).

3.2.4 Проверка сложной гипотезы о согласии покритерию типа Ω2Мизеса

Порядок проверки сложнойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим по критерию типа Ω2 Мизеса - в соответствии с 3.2,перечисления а) - ж).

Особенности примененияуказанного критерия следующие.

а) Оценка скалярного иливекторного параметра распределения F(х,θ)может быть вычислена методом максимального правдоподобия на основании формул (21) - (23) илипри минимизации статистики SΩ на основании формулы (26).

б) Значение статистикиАндерсона - Дарлинга SΩ (при использовании ОМП) илиее минимума [при использовании MD-оценок формула (26)]вычисляют по формуле (19).

в) Распределение G(SΩ½H0) в случае использования ОМПв соответствии с теоретическим распределением F(x,θ),оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.17.Критические значения критерия Saпри заданном α могутбыть взяты из таблицы А.18.

г) В случае использования MD-оценок[формула (28)] распределение G(SΩ½H0) выбирают из таблицы А.19.Критические значения критерия Sα могут быть взяты из таблицы А.20.

д) Гипотезу о согласии неотвергают, если P{S>S*Ω} = 1 - G(S*Ω½H0) > α (или S*Ω <Sα).

3.2.5 Проверка сложныхгипотез о согласии с гамма-распределением

Порядок проверки сложнойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим гамма-распределением- в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применениярассматриваемых критериев заключаются в том, что предельные распределениястатистик критериев в данном случае зависят от значения параметра формы θ0гамма-распределения (см. таблицу 1). Кроме того, модели распределений статистик припроверке согласия с гамма-распределением построены только для случаяиспользования ОМП и для ограниченного ряда значений параметра формы θ0.

При необходимости проверкигипотезы о согласии для значения параметра θ0, не совпадающегос представленными в таблицах А.21 - А.28, следует воспользоватьсязаконом распределения соответствующей статистики (или процентными точками) приближайшем к θ0 табличном значении этого параметра. Можно найтиискомые приближенные значения вероятности P{S>S*} (пли процентных точек) с помощью интерполяции.

3.2.5.1 Проверка сложной гипотезы осогласии с гамма-распределением по критерию типа Колмогорова

Общий порядок проверкисложной гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическимгамма-распределением - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения,связанные с видом статистики, следующие.

а) Оценку скалярного иливекторного, параметра гамма-распределения вычисляют методом максимальногоправдоподобия на основании формул (21) - (23).

б) Значение статистикиКолмогорова SKвычисляют по формуле (6) наосновании формул (7) - (9).

в) Распределение G(SK½H0) в соответствии с оцененнымпараметром или параметрами выбирают из таблицы А.21. Критическое значениекритерия Sα призаданном α может быть взято из таблицы А.22. Если значение параметраформы θ0 не совпадает ни с одним из табличных, искомые значенияP{S>S*K} или квантили Sα определяют интерполяцией.

г) Гипотезу о согласии неотвергают, если P{S>S*K} = 1 - G(S*K½H0) > α (или S*K <Sα).

3.2.5.2 Проверка сложной гипотезы осогласии с гамма-распределением по критерию типа Смирнова

Порядок проверки сложнойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим гамма-распределениемс использованием критерия типа Смирнова - в соответствии с 3.2,перечисления а) - ж).

Особенности примененияуказанного критерия следующие.

а) Оценку скалярного иливекторного параметра гамма-распределения вычисляют методом максимальногоправдоподобия по формулам (21) - (23).

б) Значение статистикиСмирнова Sm вычисляютпо формуле (12)на основании формул (8), (9).

в) Распределение G(Sm½H0) в соответствии с оцененнымпараметром или параметрами выбирают из таблицы А.23. Критическое значениекритерия Sα призаданном α может быть взято из таблицы А.24. Если значение параметраформы θ0 не совпадает ни содним из табличных, искомые значения P{S>S*m} или критические значениякритерия Sα призаданном α определяют интерполяцией.

г) Гипотезу о согласии неотвергают, если P{S>S*m} = 1 - G(S*m½H0) > α (или S*m <Sα).

3.2.5.3 Проверка сложной гипотезы осогласии с гамма-распределением по критерию типа ω2 Мизеса

Порядок проверки сложнойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим гамма-распределениемпо критерию типа ω2 Мизеса - в соответствии с 3.2,перечисления а) - ж).

Особенности примененияуказанного критерия следующие.

а) Оценку скалярного иливекторного параметра гамма-распределения вычисляют методом максимальногоправдоподобия на основании формул (21) - (23).

б) Значение статистикиКрамера - Мизеса - Смирнова Sω вычисляют по формуле (16).

в) Распределение G(Sω½H0) в соответствии с оцененнымпараметром или параметрами выбирают из таблицы А.25. Критическое значениекритерия Sα призаданном α может быть взято из таблицы А.26. Если значение параметраформы θ0 не совпадает ни с одним из табличных, искомые значенияP{S>S*ω} или критические значениякритерия Sα призаданном α определяют интерполяцией.

г) Гипотезу о согласии неотвергают, если P{S>S*ω} = 1 - G(S*ω½H0) > α (или S*ω < Sα).

3.2.5.4 Проверка сложной гипотезы осогласии с гамма-распределением по критерию типа Ω2 Мизеса

Порядок проверки сложнойгипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим гамма-распределениемпо критерию типа Ω2 Мизеса - в соответствии с 3.2,перечисления а) - ж).

Особенности примененияуказанного критерия следующие.

а) Оценку скалярного иливекторного параметра гамма-распределения вычисляют методом максимальногоправдоподобия на основании формул (21) - (23).

б) Значение статистикиАндерсона - Дарлинга SΩ вычисляют по формуле (19).

в) Распределение G(SΩ½H0) в соответствии с оцененнымпараметром или параметрами выбирают из таблицы А.27.Критическое значение критерия Sα при заданном α можетбыть взято из таблицы А.28. Если значение параметра формы θ0не совпадает ни с одним из табличных, искомые значения P{S>S*Ω} или критические значения критерия Sα при заданном αопределяют интерполяцией.

г) Гипотезу о согласии неотвергают, если P{S>S*Ω} = 1 - G(S*Ω½H0) > α (или S*Ω <Sα).

3.2.6 Проверка сложныхгипотез о согласии с распределениями Джонсона

Проверку сложных гипотез осогласии опытного распределения с теоретическими распределениями Джонсона покритериям типа Колмогорова, типа ω2 и Ω2 Мизеса при использованииметода максимального правдоподобия осуществляют в соответствии с 3.2.1, 3.2.3 и3.2.4соответственно.

Модели предельныхраспределений соответствующих статистик выбирают из таблицы А.29для распределения Sb-Джонсона, из таблицы А.30для распределения Sl-Джонсона, из таблицы А.31для распределения Su-Джонсона.

Процентные точкираспределений статистики типа Колмогорова представлены в таблице А.32,статистики типа ω2 Мизеса - в таблице А.33, статистики типа Ω2 Мизеса - в таблице А.34.

3.2.7 Перечень распределений, для которыхрегламентирована проверка сложных гипотез с использованием настоящихрекомендаций

Настоящие рекомендацииопределяют порядок проверки сложных гипотез о согласии с законамираспределения, перечень которых приведен в таблице 1.

Таблица 1

Распределение случайной величины

Функция плотности

Экспоненциальное, х ≥ 0

Полунормальное, x 0

Рэлея, х 0

Максвелла, х 0

Лапласа, x Î (-∞, ∞)

Нормальное, x Î (-∞, ∞)

Логнормальное, x Î (0, ∞)

Коши, x Î (-∞, ∞)

Логистическое, x Î (-∞, ∞)

Наибольшего значения, x Î (-∞, ∞)

Наименьшего значения, x Î (-∞, ∞)

Вейбулла, x Î (0, ∞)

Гамма-распределение, x Î2, ∞)

Sb-Джонсона, x Î3, θ2, +θ3]

Sl-Джонсона, x Î3, ∞)

Su-Джонсона, x Î (-∞, ∞)

Список распределений,приведенный в таблице 1, достаточно ограничен. Он включает в себя законыраспределения, наиболее часто используемые в приложениях в качестве моделейзаконов реальных случайных величин. Более широкий набор параметрических моделейзаконов распределений предложен в справочнике [35]. В случае необходимостипроверки сложной гипотезы относительно закона, не вошедшего в представленныйперечень, для построения распределения статистики G(S½H0) соответствующего проверяемойгипотезе Н0, рекомендуется воспользоваться методикойкомпьютерного анализа, изложенной в 2.3.2.

3.2.8 Законыраспределения, используемые для аппроксимации предельных распределенийстатистик непараметрических критериев при проверке сложных гипотез

Эмпирические законыраспределения статистик непараметрических критериев согласия наиболее хорошоописываются одним из следующих законов распределения: логарифмическинормальным, гамма-распределением, распределением Sl-Джонсона или распределениемSu-Джонсона.

В таблицах приложения А,содержащих рекомендуемые для использования при проверке сложных гипотезраспределения G(S½H0) через lnN(θ1, θ0)обозначено логарифмически нормальное распределение с функцией плотности

,

через γ(θ01, θ2) - гамма-распределение с функциейплотности

через Sl(θ01, θ2, θ3) - распределение Sl-Джонсонас плотностью

через Su 01, θ2, θ3) - распределение Su-Джонсонас плотностью

Таблицы А.7 - А.34построены в результате применения методики компьютерного анализа статистическихзакономерностей, описанной в 2.3.2.

Процентные точки,представленные в таблицах, соответствуют построенным моделям распределенийстатистик. В некоторых частных случаях эти значения уточняли вследствиеаппроксимации «хвостов» эмпирических распределений, полученных в результатемоделирования.

Таблицы А.1 - А.6,используемые при проверке простых гипотез и содержащие значения функцийраспределения классических статистик непараметрических критериев согласия изначения процентных точек, заимствованы в [3].

3.2.9 Примеры применениякритериев согласия при простых и сложных гипотезах

Пример 1 Проверяют простую гипотезу опринадлежности выборки экспоненциальному закону. Упорядоченная выборка объемом100 наблюдений имеет вид:

0,0041

0,0051

0,0058

0,0074

0,0082

0,0110

0,0160

0,0191

0,0263

0,0279

0,0294

0,0323

0,0411

0,0452

0,0688

0,0741

0,0805

0,0809

0,1026

0,1124

0,1220

0,1226

0,1233

0,1317

0,1323

0,1368

0,1379

0,1475

0,1515

0,1598

0,1710

0,1789

0,2010

0,2014

0,2072

0,2102

0,2194

0,2205

0,2297

0,2300

0,2302

0,2373

0,2375

0,2397

0,2415

0,2492

0,2869

0,2908

0,2976

0,3058

0,3060

0,3073

0,3096

0,3278

0,3553

0,3620

0,3679

0,3833

0,3921

0,3985

0,4078

0,4080

0,4119

0,4169

0,4208

0,4568

0,4707

0,4880

0,4942

0,5214

0,5277

0,5878

0,6146

0,6180

0,6263

0,6415

0,6757

0,7156

0,7157

0,7207

0,7351

0,7485

0,7535

0,7541

0,7728

0,8875

0,9021

0,9581

0,9868

1,0440

1,2226

1,2402

1,2641

1,3034

1,3328

1,3553

1,4006

1,5586

1,6296

2,5018

Проверяемая гипотеза имеетвид Н0:  при значении параметра θ0= 0,5.

а) Критерий Колмогорова

В соответствии с 3.1.1вычисляют значение статистики Колмогорова по формуле (6):

S*k = 0,8269.При этом значении статистики вычисляют вероятность P{S>S*K} = 1 - K(S*K)= 0,5011.

б) Критерий Смирнова

В соответствии с 3.1.2вычисляют значение статистики Смирнова по формуле (12): S*m = 2,7349. При этом значении статистики вычисляютвероятность P{Sm>S*m} =  = 0,2548.

в) Критерий ω2от Мизеса

В соответствии с 3.1.3вычисляют значение статистики ω2 Мизеса по формуле (16): S*ω = 0,1272. При этом значении статистики вычисляют вероятность P{Sω>S*ω} = 1 - a1(S*ω) = 0,4673.

г) Критерий Ω2Мизеса

В соответствии с 3.1.4вычисляют значение статистики Ω2 Мизеса по формуле (16): S*Ω= 0,8985. При таком значении статистики вычисляют вероятность P{SΩ>S*Ω} = 1 - a2(S*Ω) = 0,4151.

Как видно, при заданииуровня значимости α < 0,2548 (для критерия Смирнова) нет оснований дляотклонения проверяемой гипотезы по всем критериям согласия.

Пример 2 Проверяют сложную гипотезуо принадлежности выборки из примера 1 экспоненциальному закону H0: . Вычисленная по выборке оценка максимальногоправдоподобия параметра  = 0,4465.

а) Критерий типа Колмогорова

В соответствии с 3.2.1вычисляют значение статистики типа Колмогорова по формуле (6): S*K = 0,5188. Из таблицы А.7 находят, что распределение статистикикритерия хорошо аппроксимируется логарифмически нормальным распределением  cпараметрами θ0 = 0,2545; θ1 = -0,3422. Принайденном значении статистики по логарифмически нормальному закону вычисляютвероятность P{S>S*K} = 0,8914.

б) Критерий типа Смирнова

В соответствии с 3.2.2вычисляют значение статистики типа Смирнова по формуле (12): S*m = 1,0767. Из таблицы А.11видно, что распределение статистики критерия аппроксимируется логарифмическинормальным распределением с параметрами θ0 = 0,6951; θ1= 0,226. При найденном значении статистики вычисляют вероятность P{Sm>S*m} = 0,5866.

в) Критерий типа ω2Мизеса

В соответствии с 3.2.3вычисляют значение статистики типа ω2 Мизеса по формуле (16): S*ω = 0,035. Из таблицы А.13видно, что распределение статистики критерия аппроксимируется распределением Su-Джонсонас плотностью

и параметрами θ0 = -1,8734; θ1= 1,2118; θ2 = 0,0223; θ3 = 0,024. Принайденном значении статистики по распределению Su-Джонсона вычисляютвероятность P{Sω>S*ω} = 0,9027.

г) Критерий типа Ω2 Мизеса

В соответствии с 3.2.4вычисляют значение статистики Ω2 Мизеса по формуле (16):

S*Ω = 0,386. Из таблицы А.17находят, что распределение статистики критерия аппроксимируется распределением Su-Джонсонас параметрами θ0 = -2,8653; θ1 = 1,422; θ2= 0,105; θ3 = 0,1128. При найденном значении статистики пораспределению Su-Джонсона вычисляют вероятность P{SΩ>S*Ω} = 0,6808.

По всемкритериям согласие выборки с экспоненциальным законом очень хорошее.

Пример 3 Проверяют простую гипотезу опринадлежности выборки нормальному закону. Упорядоченная выборка объемом 100наблюдений имеет вид:

-0,6679

-0,4652

0,0056

0,0078

0,0167

0,0362

0,1189

0,1556

0,1831

0,2037

0,2829

0,2852

0,3388

0,4264

0,4733

0,4999

0,5093

0,5181

0,5227

0,5281

0,5506

0,5679

0,5849

0,5872

0,6027

0,6052

0,6124

0,6342

0,6616

0,6669

0,6712

0,7245

0,7386

0,7567

0,7992

0,8045

0,8083

0,8151

0,8216

0,8422

0,8472

0,8502

0,8678

0,8699

0,8902

0,8918

0,9037

0,9443

0,9529

0,9535

0,9548

0,9557

0,9632

0,9767

0,9956

0,9992

1,0233

1,0257

1,0574

1,0621

1,0658

1,0706

1,0724

1,1059

1,1172

1,1447

1,1500

1,1595

1,1836

1,1875

1,1887

1,2143

1,2360

1,2589

1,2754

1,2998

1,3192

1,3288

1,3587

1,3818

1,3998

1,4088

1,4314

1,4337

1,4822

1,4832

1,4958

1,4968

1,5213

1,5249

1,5896

1,6087

1,6425

1,6554

1,6687

1,8223

1,8569

1,8886

2,0460

2,2956

Проверяемая гипотеза имеетвид Н0:  при значениипараметра θ0 = 0,5.

а) Критерий Колмогорова

В соответствии с 3.1.1вычисляют значение статистики Колмогорова по формуле (6):

S*k = 0,7410.При этом значении статистики вычисляют вероятность P{S>S*K} = 1 - K(S*K)= 0,5741.

б) Критерий Смирнова

В соответствии с 3.1.2вычисляют значение статистики Смирнова по формуле (12): S*m = 2,1964. При этом значении статистики вычисляютвероятность P{Sm>S*m} =  = 0,3335.

в) Критерий ω2от Мизеса

В соответствии с 3.1.3вычисляют значение статистики ω2 Мизеса по формуле (16): S*ω = 0,1148. При этом значении статистики вычисляют вероятность P{Sω>S*ω} = 1 - a1(S*ω) = 0,5169.

г) Критерий Ω2Мизеса

В соответствии с 3.1.4 вычисляютзначение статистики Ω2 Мизеса по формуле (16): S*Ω= 0,7577. Полученная при таком значении статистики вероятность равна0,5126.

Как видно, при заданииуровня значимости α < 0,3335 (для критерия Смирнова) нет оснований дляотклонения проверяемой гипотезы по всем критериям согласия.

Пример 4 Проверяют сложную гипотезу опринадлежности выборки из примера 3нормальному закону распределения. Проверяемая гипотеза имеет вид H0: . Вычисленныепо выборке оценки максимального правдоподобия параметров θ0 =0,4465; θ1 = 0,9369.

а) Критерий типа Колмогорова

В соответствии с 3.2.1вычисляют значение статистики типа Колмогорова по формуле (6): S*K = 0,5741. Из таблицы А.7находят, что распределение статистики критерия при вычислении оценокмаксимального правдоподобия двух параметров нормального закона аппроксимируетсягамма-распределением  с параметрами θ0= 4,9014; θ1 = 0,0691; θ2 = 0,2951. Принайденном значении статистики по гамма-распределению вычисляют вероятность P{S>S*K } = 0,6034.

б) Критерий типа Смирнова

В соответствии с 3.2.2вычисляют значение статистики типа Смирнова по формуле (12): S*m = 0,4016. Из таблицы А.11видно, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП двух параметровнормального закона подчиняется логарифмически нормальному распределению с параметрами θ0= 0,5436; θ1 = 0,1164. При найденном значении статистикивычисляют по логарифмически нормальному закону вероятность P{Sm>S*m}= 0,9708.

в) Критерий типа ω2Мизеса

В соответствии с 3.2.3вычисляют значение статистики типа ω2 Мизеса по формуле (16): S*ω = 0,0338. Из таблицы А.13находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП двухпараметров нормального закона подчиняется логарифмически нормальномураспределению с параметрами θ0= 0,5330; θ1 =-2,9794. При найденном значении статистики вычисляют по логарифмическинормальному закону вероятность P{Sω>S*ω} = 0,7779.

г) Критерий типа Ω2 Мизеса

В соответствии с 3.2.4вычисляют значение статистики Ω2 Мизеса по формуле (16): S*Ω = 0,2394. Из таблицы А.17 находят, что распределение статистикикритерия подчиняется распределению Su-Джонсона с параметрамиθ0 = -2,7057; θ1 = 1,7154; θ2 =0,1043; θ3 = 0,0925. При найденном значении статистики пораспределению Su-Джонсона вычисляют вероятность P{SΩ>S*Ω} = 0,7719.

По всем критериям согласиевыборки с нормальным законом очень хорошее.

Пример 5 Проверяют сложную гипотезу опринадлежности выборки двухпараметрическому распределению Вейбулла.Упорядоченная выборка объемом 200 наблюдений имеет вид:

0,0999

0,1089

0,1134

0,1160

0,1242

0,1332

0,1356

0,1442

0,1575

0,1819

0,1853

0,1922

0,2071

0,2141

0,2184

0,2244

0,2475

0,2485

0,2551

0,2572

0,2634

0,2642

0,2647

0,2659

0,2668

0,2726

0,2768

0,2796

0,2824

0,2844

0,2858

0,2897

0,2918

0,2957

0,3090

0,3151

0,3151

0,3152

0,3181

0,3187

0,3208

0,3241

0,3305

0,3380

0,3396

0,3398

0,3405

0,3417

0,3441

0,3533

0,3547

0,3548

0,3663

0,3671

0,3734

0,3781

0,3870

0,3918

0,3940

0,3980

0,3988

0,4032

0,4070

0,4110

0,4219

0,4234

0,4236

0,4257

0,4282

0,4305

0,4320

0,4535

0,4599

0,4611

0,4632

0,4739

0,4821

0,4862

0,4885

0,4899

0,5089

0,5106

0,5285

0,5338

0,5361

0,5374

0,5399

0,5505

0,5537

0,5685

0,5716

0,5717

0,5730

0,5821

0,5834

0,5999

0,6010

0,6054

0,6097

0,6120

0,6142

0,6151

0,6252

0,6259

0,6315

0,6354

0,6377

0,6423

0,6520

0,6553

0,6758

0,6853

0,6862

0,6943

0,6987

0,7095

0,7114

0,7140

0,7157

0,7355

0,7479

0,7624

0,7738

0,7748

0,7820

0,7849

0,7915

0,8013

0,8099

0,8111

0,8184

0,8234

0,8250

0,8260

0,8284

0,8295

0,8473

0,8478

0,8480

0,8493

0,8620

0,8706

0,8713

0,8834

0,8846

0,9073

0,9076

0,9128

0,9272

0,9500

0,9589

0,9608

0,9890

0,9922

1,0176

1,0184

1,0287

1,0368

1,0533

1,0538

1,1193

1,1245

1,1245

1,1346

1,1399

1,1485

1,1574

1,1591

1,1669

1,1701

1,2342

1,2618

1,2679

1,3034

1,3503

1,4257

1,4258

1,4501

1,4617

1,4632

1,4785

1,5091

1,5188

1,5752

1,6154

1,6333

1,6355

1,7139

1,7503

1,7684

1,9291

2,0316

2,0937

2,0948

2,3901

2,5209

2,8097

3,0380

3,0530

6,1251

Проверяют Н0: Вычисленные повыборке оценки максимального правдоподобия параметров  = 1,3734;  = 0,8539.

а) Критерий типа Колмогорова

В соответствии с 3.2.1вычисляют значение статистики типа Колмогорова по формуле (6): S*K = 1,2402. Из таблицы А.7находят, что распределение статистики критерия при вычислении оценокмаксимального правдоподобия двух параметров распределения Вейбуллааппроксимируется гамма-распределением с параметрами θ0 =4,9738; θ1 = 0,066; θ2 = 0,3049. При найденномзначении статистики в соответствии с гамма-распределением вычисляют вероятностьP{S>S*K}= 0,00154. Следовательно, при задании уровня значимости α > 0,00154проверяемая гипотеза должна быть отклонена.

б) Критерий типа Смирнова

В соответствии с 3.2.2вычисляют значение статистики типа Смирнова по формуле (12): S*m = 4,6028. Из таблицы А.11находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП двухпараметров распределения Вейбулла подчиняется логарифмически нормальномураспределению с параметрами θ0 = 0,1501; θ1 =0,5108. При найденном значении статистики вычисляют в соответствии слогарифмически нормальным законом вероятность P{Sm>S*m} = 0,00352.

в) Критерий типа ω2Мизеса

В соответствии с 3.2.3вычисляют значение статистики типа ω2 Мизеса по формуле (16): S*ω = 0,347. Из таблицы А.13находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП двухпараметров распределения Вейбулла подчиняется логарифмически нормальномураспределению с параметрами θ0 = 0,5379; θ1 =-2,9541. При найденном значении статистики вычисляют в соответствии слогарифмически нормальным законом вероятность P{Sω>S*ω} = 0,00021.

г) Критерий типа Ω2 Мизеса

В соответствии с 3.2.4вычисляют значение статистики Ω2 Мизеса по формуле (16): S*Ω = 2,553. Из таблицы А.17 находят, что при вычислении ОМП двухпараметров распределения Вейбулла распределение статистики критерия хорошоаппроксимируется распределением Su-Джонсона с параметрамиθ0= -2,4622; θ1 = 1,6473; θ2 =0,1075; θ3 = 0,1149. При найденном значении статистикивычисляют по распределению Su-Джонсона вероятность P{S*Ω>S*Ω} = 0,000066.

Таким образом, по всемкритериям выборка плохо согласуется с распределением Вейбулла ипроверяемая гипотеза должна быть отклонена.

Пример 6 Проверяют сложную гипотезу опринадлежности выборки гамма-распределению с параметром формы θ0= 2, параметром сдвига θ2 = 0. Упорядоченная выборка объемом100 наблюдений имеет вид:

0,1006

0,2156

0,2311

0,2925

0,3410

0,3512

0,4028

0,5132

0,5340

0,5409

0,6100

0,6187

0,6204

0,6324

0,6559

0,6743

0,7131

0,7394

0,7779

0,7911

0,7919

0,8068

0,8117

0,8839

0,8996

0,9040

0,9167

0,9210

0,9441

0,9487

1,0274

1,0285

1,0316

1,1102

1,1249

1,1302

1,1497

1,2345

1,2530

1,2903

1,3136

1,3303

1,3360

1,3405

1,3804

1,4050

1,4117

1,4331

1,4617

1,4991

1,5852

1,6111

1,6175

1,6299

1,6798

1,7159

1,7287

1,7756

1,8505

1,8872

1,8928

1,9605

2,0299

2,1560

2,2548

2,2769

2,2901

2,3020

2,4111

2,4679

2,5302

2,5342

2,6717

2,6789

2,6797

2,8988

2,9230

2,9414

2,9558

3,0030

3,0531

3,1134

3,2002

3,2757

3,3716

3,4342

3,4632

3,5365

3,5753

3,7399

3,9758

4,1776

4,3462

4,3627

4,5000

4,5506

4,7544

4,7859

5,6662

8,2201

Проверяемая гипотеза имеетвид

H0: .

Вычисленная по выборкеоценка максимального правдоподобия параметра масштаба  = 1,02818.

а) Критерий типа Колмогорова

В соответствии с 3.2.5.1вычисляют значение статистики типа Колмогорова по формуле (6): S*K = 0,4917. Из таблицы А.21находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП масштабногопараметра гамма-распределения подчиняется распределению Su-Джонсонас параметрами θ0 = -2,2691; θ1 = 2,2383; θ2= 0,2323; θ3 = 0,3958. При найденном значении статистики пораспределению Su-Джонсона вычисляют вероятность P{S>S*K} = 0,9146.Следовательно, согласие очень хорошее и проверяемая гипотеза должна бытьпринята.

б) Критерий типа Смирнова

В соответствии с 3.2.5.2вычисляют значение статистики типа Смирнова по формуле (12): S*m = 0,9419. Из таблицы А.23находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметрамасштаба гамма-распределения подчиняется распределению Su-Джонсонас параметрами θ0 = -2,5372; θ1 = 1,3749; θ2= 0,3464; θ3 = 0,2162. При найденном значении статистики пораспределению Su-Джонсона вычисляют вероятность P{Sm>S*m}= 0,6897, значение которой указывает на хорошее согласие.

в) Критерий типа ω2Мизеса

В соответствии с 3.2.5.3вычисляют значение статистики типа ω2 Мизеса по формуле (16): S*ω = 0,0475. Из таблицы А.25находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметрамасштаба гамма-распределения подчиняется распределению Su-Джонсонас параметрами θ0 = -1,6042; θ1 = 1,1125; θ2= 0,0027; θ3 = 0,0281. При найденном значении статистики пораспределению Su-Джонсона вычисляют вероятность P{Sω>S*ω} = 0,7498.

г) Критерий типа Ω2 Мизеса

В соответствии с 3.2.5.4вычисляют значение статистики Ω2 Мизеса по формуле (16): S*Ω = 0,2675. Из таблицы А.27 находят, что распределение статистикикритерия при вычислении ОМП параметра масштаба гамма-распределения подчиняетсяраспределению Su-Джонсона с параметрами θ0 =-2,4667; θ1 = 1,418; θ2 = 0,1207; θ3= 0,1416. При найденном значении статистики по данному распределению Su-Джонсонавычисляют вероятность P{SΩ>S*Ω} = 0,8798.

Таким образом, по всемкритериям выборка хорошо согласуется с гамма-распределением и проверяемаягипотеза должна быть принята.

Пример 7 Проверяют сложную гипотезуо принадлежности выборки гамма-распределению с параметром сдвига θ2 = 0. Упорядоченнаявыборка объемом 100 наблюдений имеет вид:

0,0002

0,0004

0,0009

0,0019

0,0020

0,0025

0,0028

0,0030

0,0031

0,0040

0,0044

0,0054

0,0057

0,0068

0,0076

0,0081

0,0084

0,0090

0,0101

0,0119

0,0130

0,0162

0,0190

0,0201

0,0206

0,0237

0,0293

0,0312

0,0427

0,0431

0,0441

0,0452

0,0481

0,0492

0,0498

0,0517

0,0517

0,0552

0,0558

0,0638

0,0671

0,0714

0,0806

0,0815

0,0965

0,0987

0,1005

0,1055

0,1255

0,1307

0,1312

0,1324

0,1353

0,1411

0,1446

0,1524

0,1594

0,1678

0,1754

0,1767

0,1799

0,1838

0,1994

0,2116

0,2159

0,2162

0,2238

0,2242

0,2329

0,2545

0,2782

0,2900

0,2929

0,2967

0,3006

0,3084

0,3200

0,3262

0,3286

0,3473

0,3488

0,3608

0,3905

0,3961

0,4132

0,4294

0,4385

0,4557

0,4629

0,4699

0,5041

0,5096

0,6121

0,6146

0,6415

0,7359

0,9762

1,1460

1,1494

1,6170

Проверяемая гипотеза имеетвид

H0: .

Вычисленные по выборке ОМПпараметров формы и масштаба соответственно равны  = 0,5812;  =2,7391. В таблицах А.21 -А.28ближайшее значение параметра формы θ0 = 0,5.

а) Критерий типа Колмогорова

В соответствии с 3.2.5.1вычисляют значение статистики типа Колмогорова по формуле (6): S*K = 0,6272. Из таблицы А.21находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметровформы и масштаба гамма-распределения при θ0 = 0,5 подчиняетсяраспределению Su-Джонсона с параметрами θ0 =-2,8715; θ1 = 2,5280; θ2 = 0,2325; θ3= 0,3296. При найденном значении статистики по данному распределению Su-Джонсона вычисляютвероятность P{S>S*K} = 0,5699. Так как оценкапараметра формы больше 0,5, то при θ0 = 0,5812 P{S>S*K} > 0,5699.Следовательно, проверяемая гипотеза должна быть принята.

б) Критерий типа Смирнова

В соответствии с 3.2.5.2вычисляют значение статистики типа Смирнова по формуле (12): S*m = 1,1526. Из таблицы А.23находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметровформы и масштаба гамма-распределения при θ0 = 0,5 подчиняетсяраспределению Su-Джонсона с параметрами θ0 =-2,4027; θ1 = 1,3861; θ2 = 0,3389; θ3= 0,2290. При найденном значении статистики по данному распределению Su-Джонсонавычисляют, что вероятность P{Sm>S*m} > 0,5031.

в) Критерий типа ω2Мизеса

В соответствии с 3.2.5.3вычисляют значение статистики типа ω2 Мизеса по формуле (16): S*ω = 0,0561. Из таблицы А.25находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметровформы и масштаба гамма-распределения при θ0 = 0,5 подчиняетсяраспределению Su-Джонсона с параметрами θ0 =-1,5811; θ1 = 1,1193; θ2 = 0,0164; θ3= 0,0243. При найденном значении статистики по данному распределению Su-Джонсонавычисляют, что вероятность P{Sω>S*ω} > 0,4985.

г) Критерий типа Ω2Мизеса

В соответствии с 3.2.5.4вычисляют значение статистики Ω2 Мизеса по формуле (16): S*Ω = 0,3746. Из таблицы А.27находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметровформы и масштаба гамма-распределения при θ0 = 0,5 подчиняетсяраспределению Su-Джонсона с параметрами θ0 =-2,6917; θ1 = 1,6334; θ2 = 0,0970; θ3= 0,1067. При найденном значении статистики по данному распределению Su-Джонсонавычисляют, что вероятность P{SΩ>S*Ω} > 0,4400.

Таким образом, по всемкритериям выборка хорошо согласуется с гамма-распределением и проверяемаягипотеза должна быть принята.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

(рекомендуемое)

ТАБЛИЦЫ
распределений статистик непараметрических критериев согласия при простых исложных гипотезах

Таблица А.1 - Функция распределения статистики Колмогорова K(S)при проверке простой гипотезы

S

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,2

0,000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000001

000004

0,3

0,000009

000021

000046

000091

000171

000303

000511

000826

001285

001929

0,4

0,002808

003972

005476

007377

009730

012589

016005

020022

024682

030017

0,5

0,036055

042814

050306

058534

067497

077183

087577

098656

110394

122760

0,6

0,135718

149229

163255

177752

192677

207987

223637

239582

255780

272188

0,7

0,288765

305471

322265

339114

355981

372833

389640

406372

423002

439505

0,8

0,455858

472039

488028

503809

519365

534682

549745

564545

579071

593315

0,9

0,607269

620928

634285

647337

660081

672515

684836

696445

707941

719126

1,0

0,730000

740566

750825

760781

770436

779794

788860

797637

806130

814343

1,1

0,822282

829951

837356

844502

851395

858040

864443

870610

876546

882258

1,2

0,887750

893030

898102

903973

907648

912134

916435

920557

924506

928288

1,3

0,931908

935371

938682

941847

944871

947758

950514

953144

955651

958041

1,4

0,960318

962487

964551

966515

968383

970159

971846

973448

974969

976413

1,5

0,977782

979080

980310

981475

982579

983623

984610

985544

986427

987261

1,6

0,988048

988791

989492

990154

990777

991364

991917

992438

992928

993389

1,7

0,993823

994230

994612

994972

995309

995625

995922

996200

996460

996704

1,8

0,996932

997146

997346

997533

997707

997870

998023

998165

998297

998421

1,9

0,998536

998644

998744

998837

998924

999004

999079

999149

999213

999273

2,0

0,999329

999381

999429

999473

999514

999553

999588

999620

999651

999679

2,1

0,999705

999728

999750

999771

999790

999807

999823

999837

999851

999863

2,2

0,999874

999886

999895

999904

999912

999920

999927

999933

999939

999944

2,3

0,999949

999954

999958

999961

999965

999968

999971

999974

999976

999978

2,4

0,999980

999982

999984

999985

999987

999988

999989

999990

999991

999992

Таблица А.2 - Процентные точки распределения статистикиКолмогорова при проверке простой гипотезы

Функция распределения

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

K(S)

1,1379

1,2238

1,3581

1,4802

1,6276

Таблица А.3 - Функция распределения статистики ω2Мизеса а1(S) при проверке простой гипотезы

S

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,00000

00001

00300

02568

06685

12372

18602

24844

30815

36386

0,1

0,41513

46196

50457

54329

57846

61042

63951

66600

69019

71229

0,2

0,73253

75109

76814

78383

79829

81163

82396

83536

84593

85573

0,3

0,86483

87329

88115

88848

89531

90167

90762

91317

91836

92321

0,4

0,92775

93201

93599

93972

94323

94651

94960

95249

95521

95777

0,5

0,96017

96242

96455

96655

96843

97020

97186

97343

97491

97630

0,6

0,97762

97886

98002

98112

98216

98314

98406

98493

98575

98653

0,7

0,98726

98795

98861

98922

98981

99036

99088

99137

99183

99227

0,8

0,99268

99308

99345

99380

99413

99444

99474

99502

99528

99553

0,9

0,99577

99599

99621

99641

99660

99678

99695

99711

99726

99740

1,0

0,99754

99764

99776

99787

99799

99812

99820

99828

99837

99847

1,1

0,99856

99862

99869

99876

99883

99890

99895

99900

99905

99910

1,2

0,99916

99919

99923

99927

99931

99935

99938

99941

99944

99947

1,3

0,99950

99953

99955

99957

99959

99962

99964

99965

99967

99969

1,4

0,99971

99972

99973

99975

99976

99978

99978

99979

99980

99980

Таблица А.4 - Процентные точки распределения статистикиω2 Мизеса при проверке простой гипотезы

Функция распределения

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

а1(S)

0,2841

0,3473

0,4614

0,5806

0,7434

Таблица А.5 - Функция распределения статистики Ω2 Мизеса (Андерсона -Дарлинга) a2(S) при проверкепростой гипотезы

S

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,00000

00000

00000

00000

00000

00000

00000

00000

00000

00001

0,1

0,00003

00008

00020

00043

00081

00141

00228

00349

00508

00710

0,2

0,00959

01256

01605

02005

02457

02961

03514

04115

04762

05453

0,3

0,06184

06954

07759

08596

09463

10356

11273

12211

13168

14140

0,4

0,15127

16124

17132

18146

19166

20190

21217

22244

23271

24296

0,5

0,25319

26337

27351

28359

29360

30355

31342

32320

33290

34250

0,6

0,35200

36141

37071

37991

38900

39798

40684

41560

42424

43277

0,7

0,44118

44947

45765

46572

47367

48150

48922

49683

50432

51170

0,8

0,51897

52613

53318

54012

54695

55368

56030

56682

57324

57956

0,9

0,58577

59189

59791

60383

60966

61540

62104

62660

63206

63744

1,0

0,64273

64794

65306

65811

66307

66795

67275

67748

68213

68670

1,1

0,69120

69563

69999

70428

70851

71266

71675

72077

72473

72863

1,2

0,73247

73624

73996

74361

74721

75075

75424

75767

76105

76438

1,3

0,76765

77088

77405

77717

78025

78328

78626

78919

79209

79493

1,4

0,79773

80049

80321

80589

80852

81112

81368

81620

81868

82112

1,5

0,82352

82589

82823

83053

83279

83503

83723

83939

84153

84363

1,6

0,84570

84774

84975

85173

85369

85561

85751

85938

86122

86303

1,7

0,86482

86659

86832

87004

87173

87339

87503

87665

87824

87981

1,8

0,88136

88289

88439

88588

88734

88878

89021

89161

89299

89435

1,9

0,89570

89703

89833

89962

90089

90215

90338

90460

90581

90699

2,0

0,90816

90932

91046

91158

91269

91378

91486

91592

91697

91800

2,1

0,91902

92003

92102

92200

92297

92392

92486

92579

92671

92761

2,2

0,92851

92939

93025

93111

93196

93279

93361

93443

93523

93602

2,3

0,93680

93757

93833

93908

93983

94056

94128

94199

94269

94339

2,4

0,94407

94475

94542

94608

94673

94737

94800

94863

94925

94986

2,5

0,95046

95105

95164

95222

95279

95336

95391

95446

95501

95554

2,6

0,95607

95660

95711

95762

95813

95862

95912

95960

96008

96055

2,7

0,96102

96148

96194

96239

96283

96327

96370

96413

96455

96497

2,8

0,96538

96579

96619

96659

96698

96737

96775

96813

96850

96887

2,9

0,96923

96959

96995

97030

97064

97099

97132

97166

97199

97231

3,0

0,97263

97295

97327

97358

97388

97419

97449

97478

97507

97536

3,1

0,97565

97593

97621

97648

97675

97702

97729

97755

97781

97806

3,2

0,97831

97856

97881

97905

97929

97953

97977

98000

98023

98046

3,3

0,98068

98090

98112

98134

98155

98176

98197

98217

98238

98258

3,4

0,98278

98297

98317

98336

98355

98374

98392

98410

98429

98447

3,5

0,98464

98482

98499

98516

98533

98549

98566

98582

98598

98614

3,6

0,98630

98645

98660

98676

98691

98705

98720

98734

98749

98763

3,7

0,98777

98791

98804

98818

98831

98844

98857

98870

98883

98895

3,8

0,98908

98920

98932

98944

98956

98968

98979

98991

99002

99013

3,9

0,99024

99035

99046

99057

99067

99078

99088

99098

99108

99118

4,0

0,99128

99221

99303

99377

99442

99501

99553

99600

99642

99679

5,0

0,99713

99742

99769

99793

99814

99834

99851

99866

99880

99892

6,0

0,99903

99913

99922

99930

99937

99944

99949

99954

99959

99963

7,0

0,99967

99970

99973

99976

99978

99981

99983

99984

99986

99987

8,0

0,99989

99990

99991

99992

99993

99993

99994

99995

99995

99996

9,0

0,99996

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Таблица А.6 -Процентные точки распределения статистики Ω2 Мизеса (Андерсона - Дарлинга) при проверке простой гипотезы

Функция распределения

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

a2(S)

1,6212

1,9330

2,4924

3,0775

3,8781

Таблица А.7 - Аппроксимация предельных распределенийстатистики Колмогорова при использовании метода максимального правдоподобия

Распределение случайной величины

При оценивании

только масштабного параметра

только параметра сдвига

двух параметров

Экспоненциальное

ln N (-0,3422; 0,2545)

-

-

Полунормальное

γ (4,1332; 0,1076; 0,3205)

-

-

Рэлея

ln N (-0,3388; 0,2621)

-

-

Максвелла

ln N (-0,3461; 0,2579)

-

-

Лапласа

γ (4,0038; 0,1269; 0,3163)

γ (4,6474; 0,0870; 0,3091) ln N (-0,3690; 0,2499)

γ (4,4525; 0,0761; 0,3252) ln N (-0,4358; 0,2276)

Нормальное

γ (4,1492; 0,1259; 0,3142)

ln N (-0,4138; 0,2289)

γ (4,9014; 0,0691; 0,2951) ln N (-0,4825; 0,2296)

Логнормальное

γ (4,3376; 0,1265; 0,2890)

Su (-2,0328; 2,3642; 0,2622;

Su (-1,8093; 1,9041; 0,1861; 0,4174)

0,4072)

Коши

Su (-3,3278; 2,2529; 0,2185; 0,2858)

γ (4,8247; 0,0874; 0,2935)

ln N (-0,5302; 0,2427)

Логистическое

γ (3,5345; 0,1385; 0,339)

Su (-2,8534; 3,0657; 0,2872; 0,3199)

ln N (-0,5611; 0,2082)

Наибольшего значения

γ (3,4689; 0,1384; 0,3543)

γ (4,1008; 0,0997; 0,3269)

γ (4,9738; 0,0660; 0,3049)

Наименьшего значения

γ (3,4689; 0,1384; 0,3543)

γ (4,1008; 0,0997; 0,3269)

γ (4,9738; 0,0660; 0,3049)

Вейбулла

γ (3,4689; 0,1384; 0,3543)1)

γ (4,1008; 0,0997; 0,3269)2)

γ (4,9738; 0,0660; 0,3049)

1) Оценивали параметр формы распределения Вейбулла.

2) Оценивали параметр масштаба распределения Вейбулла.

Таблица А.8 - Процентные точки распределения статистикиКолмогорова при использовании метода максимального правдоподобия

Распределение случайной величины

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

Экспоненциальное

Масштабный

0,9246

0,9841

1,0794

1,1695

1,2838

Полунормальное

Масштабный

0,9857

1,0584

1,1752

1,2853

1,4241

Рэлея

Масштабный

0,9338

0,9954

1,0944

1,1881

1,3072

Максвелла

Масштабный

0,9242

0,9845

1,0812

1,1728

1,2890

Лапласа

Масштабный

1,0800

1,1647

1,3009

1,4296

1,5918

Сдвиг

0,9015

0,9612

1,0547

1,1426

1,2538

Два параметра

0,8216

0,8710

0,9497

1,0248

1,1206

Нормальное

Масштабный

1,0951

1,1803

1,3171

1,4462

1,6087

Сдвиг

0,8381

0,8865

0,9634

1,0354

1,1260

Два параметра

0,7895

0,8333

0,9042

0,9723

1,0599

Логнормальное

Масштабный

1,1037

1,1907

1,3303

1,4618

1,6272

Сдвиг

0,8516

0,9076

1,0006

1,0927

1,2151

Два параметра

0,8113

0,8708

0,9731

1,0782

1,2234

Коши

Масштабный

1,0281

1,1169

1,2669

1,4176

1,6209

Сдвиг

0,9096

0,9722

1,0723

1,1663

1,2842

Два параметра

0,7568

0,8032

0,8772

0,9469

1,0350

Логистическое

Масштабный

1,0895

1,1777

1,3201

1,4552

1,6262

Сдвиг

0,7903

0,8359

0,9096

0,9803

1,0713

Два параметра

0,7080

0,7451

0,8036

0,8581

0,9261

Наибольшего значения

Масштабный

1,0925

1,1800

1,3215

1,4557

1,6257

Сдвиг

0,9391

1,0062

1,1141

1,2159

1,3442

Два параметра

0,7825

0,8304

0,9069

0,9786

1,0684

Наименьшего значения

Масштабный

1,0925

1,1800

1,3215

1,4557

1,6257

Сдвиг

0,9391

1,0062

1,1141

1,2159

1,3442

Два параметра

0,7825

0,8304

0,9069

0,9786

1,0684

Вейбулла

Формы

1,0925

1,1800

1,3215

1,4557

1,6257

Масштаба

0,9391

1,0062

1,1141

1,2159

1,3442

Два параметра

0,7825

0,8304

0,9069

0,9786

1,0684

Таблица А.9 - Аппроксимация предельных распределенийминимума статистики Колмогорова (при использовании MD-оценок, минимизирующихстатистику SK)

Распределение случайной величины

При оценивании

только масштабного параметра

только параметра сдвига

двух параметров

Экспоненциальное

γ (4,4983; 0,0621; 0,2891)

-

-

Полунормальное

γ (4,2884; 0,0705; 0,3072)

-

-

Рэлея

γ (4,8579; 0,0639; 0,2900)

-

-

Максвелла

γ (5,3106; 0,0581; 0,2865)

-

-

Лапласа

γ (3,0431; 0,1355; 0,3182)

γ (5,0103; 0,0602; 0,2968)

ln N (-0,5358; 0,2122)

Su (-2,1079; 2,4629; 0,1661; 0,3340)

ln N (-0,6970; 0,1952)

Нормальное

γ (3,2458; 0,1343; 0,3072)

ln N (-0,5469; 0,2152)

ln N (-0,7236; 0,1837)

Логнормальное

γ (3,2458; 0,1343; 0,3072)

ln N (-0,5469; 0,2152)

ln N (-0,7236; 0,1837)

Коши

γ (3,4398; 0,1255; 0,3022)

ln N (-0,5182; 0,2268)

Su (-1,6929; 2,5234; 0,1892; 0,3607)

ln N (-0,6946; 0,1938)

Логистическое

Su (-2,6522; 1,8288; 0,1738; 0,3384)

γ (3,6342; 0,1284; 0,2772)

Su (-3,8497; 3,2770; 0,2136; 0,2607)

ln N (-0,5511; 0,2045)

ln N (-0,7389; 0,1771)

Su (-2,5093; 3,1277; 0,1932; 0,3041)

Наибольшего значения

γ (3,5424; 0,1203; 0,2975)

Su (-1,9028; 2,3972; 0,2227; 0,389)

Su (-1,3144; 2,2480; 0,1616; 0,3858)

ln N (-0,7174; 0,1841)

Наименьшего значения

γ (3,5424; 0,1203; 0,2975)

Su (-1,9028; 2,3972; 0,2227; 0,389)

Su (-1,3144; 2,2480; 0,1616; 0,3858)

ln N (-0,7174; 0,1841)

Вейбулла

γ (3,5424; 0,1203; 0,2975)1)

Su (-1,9028; 2,3972; 0,2227; 0,389)2)

Su (-1,3144; 2,2480; 0,1616; 0,3858)

ln N (-0,7174; 0,1841)

1) Оценивали параметр формы распределения Вейбулла.

2) Оценивали параметр масштаба распределения Вейбулла.

Таблица А.10 - Процентные точки распределения минимумастатистики Колмогорова (при использовании MD-оценок, минимизирующихстатистику SK)

Распределение случайной величины

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

Экспоненциальное

Масштабный

0,7016

0,7449

0,8143

0,8796

0,9617

Полунормальное

Масштабный

0,7569

0,8052

0,8826

0,9557

1,0476

Рэлея

Масштабный

0,7429

0,7888

0,8622

0,9310

1,0174

Максвелла

Масштабный

0,7308

0,7740

0,8429

0,9073

0,9879

Лапласа

Масштабный

0,9660

1,0477

1,1803

1,3067

1,4674

Сдвиг

0,7353

0,7791

0,8490

0,9145

0,9967

Два параметра

0,6085

0,6419

0,6970

0,7512

0,8229

Нормальное

Масштабный

0,9847

1,0676

1,2018

1,3295

1,4915

Сдвиг

0,7234

0,7625

0,8245

0,8824

0,9548

Два параметра

0,5867

0,6137

0,6561

0,6952

0,7436

Логнормальное

Масштабный

0,9847

1,0676

1,2018

1,3295

1,4915

Сдвиг

0,7234

0,7625

0,8245

0,8824

0,9548

Два параметра

0,5867

0,6137

0,6561

0,6952

0,7436

Коши

Масштабный

0,9669

1,0460

1,1739

1,2953

1,4491

Сдвиг

0,7534

0,7965

0,8649

0,9290

1,0095

Два параметра

0,6076

0,6391

0,6906

0,7408

0,8067

Логистическое

Масштабный

0,9971

1,0807

1,2336

1,3532

1,4876

Сдвиг

0,7110

0,7496

0,8119

0,8714

0,9477

Два параметра

0,5739

0,5993

0,6392

0,6758

0,7212

Наибольшего значения

Масштабный

0,9505

1,0272

1,1510

1,2684

1,4170

Сдвиг

0,7358

0,7798

0,8528

0,9246

1,0199

Два параметра

0,5874

0,6168

0,6656

0,7138

0,7780

Наименьшего значения

Масштабный

0,9505

1,0272

1,1510

1,2684

1,4170

Сдвиг

0,7358

0,7798

0,8528

0,9246

1,0199

Два параметра

0,5874

0,6168

0,6656

0,7138

0,7780

Вейбулла

Формы

0,9505

1,0272

1,1510

1,2684

1,4170

Масштаба

0,7358

0,7798

0,8528

0,9246

1,0199

Два параметра

0,5874

0,6168

0,6656

0,7138

0,7780

Таблица А.11 - Аппроксимация предельных распределенийстатистики Смирнова при использовании метода максимального правдоподобия

 

Распределение случайной величины

При оценивании

 

только масштабного параметра

только параметра сдвига

двух параметров

Экспоненциальное

ln N (0,2260; 0,6951)

-

-

 

Полунормальное

ln N (0,2050; 0,7718)

-

-

 

Рэлея

ln N (0,2248; 0,7248)

-

-

 

Максвелла

ln N (0,2462; 0,6779)

-

-

 

Лапласа

γ (0,8539; 1,9952; 0,0000)

γ (1,7941; 0,8324; 0,0149)

γ (1,7071; 0,7234; 0,0170)

 

 

Нормальное

γ (0,8700; 2,0786; 0,0004)

γ (2,6428; 0,5089; 0,2056) ln N (0,2992; 0,5298)

ln N (0,1164; 0,5436)

 

 

Логнормальное

γ (0,8231; 2,1973; 0,0001)

Su (-2,5588; 1,6251; 0,4763; 0,2134)

Su (-2,2909; 1,3491; 0,3115; 0,3134)

 

 

Коши

γ (0,8839; 1,7507; 0,0019)

γ (1,4108; 1,0209; 0,0004)

γ (1,3546; 0,7565; 0,0005)

 

 

Логистическое

γ (0,8376; 2,1815; 0,0001)

Su (-2,9441; 1,7404; 0,3783; 0,3082)

ln N (0,0831; 0,4473)

 

 

Наибольшего значения

γ (0,8856; 2,0700; 0,0002)

ln N (0,2414; 0,7017)

ln N (0,1501; 0,5108)

 

 

Наименьшего значения

γ (0,8856; 0,4831; 0,0002)

ln N (0,2414; 0,7017)

ln N (0,1501; 0,5108)

 

 

Вейбулла

γ (0,8856; 0,4831; 0,0002)1)

ln N (0,2414; 0,7017)2)

ln N (0,1501; 0,5108)

 

 

1) Оценивали параметр формы распределения Вейбулла.

2) Оценивали параметр масштаба распределения Вейбулла.

 

Таблица А.12 - Процентные точки распределения статистикиСмирнова при использовании метода максимального правдоподобия

Распределение случайной величины

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

Экспоненциальное

Масштабный

2,5765

3,0551

3,9327

4,8958

6,3157

Полунормальное

Масштабный

2,7317

3,3006

4,3688

5,5717

7,3926

Рэлея

Масштабный

2,6538

3,1698

4,1247

5,1830

6,7594

Максвелла

Масштабный

2,5826

3,0495

3,9011

4,8301

6,1918

Лапласа

Масштабный

3,3122

4,0778

5,3989

6,7310

8,5032

Сдвиг

2,5343

2,9829

3,8007

4,6556

5,8229

Два параметра

2,1134

2,4340

3,0160

3,6227

4,4495

Нормальное

Масштабный

3,5063

4,3091

5,6929

7,0868

8,9396

Сдвиг

2,3656

2,6880

3,2205

3,7406

4,4163

Два параметра

1,9860

2,2855

2,8102

3,3438

4,0581

Логнормальное

Масштабный

3,5354

4,3677

5,8074

7,2619

9,1998

Сдвиг

2,3633

2,7212

3,3595

4,0397

5,0141

Два параметра

2,1348

2,5025

3,1850

3,9446

5,0813

Коши

Масштабный

2,9947

3,6746

4,8455

6,0239

7,5894

Сдвиг

2,5803

3,0471

3,8305

4,6011

5,6065

Два параметра

1,8488

2,1898

2,7633

3,3284

4,0668

Логистическое

Масштабный

3,5929

4,4877

6,0215

7,2637

8,7397

Сдвиг

2,1515

2,4357

2,9366

3,4632

4,2073

Два параметра

1,7275

1,9277

2,2679

2,6112

3,0761

Наибольшего значения

Масштабный

3,5448

4,3493

5,7346

7,1286

8,9804

Сдвиг

2,5565

3,0364

3,9180

4,8877

6,3205

Два параметра

1,9729

2,2361

2,692

3,1621

3,8129

Наименьшего значения

Масштабный

3,5448

4,3493

5,7346

7,1286

8,9804

Сдвиг

2,5565

3,0364

3,9180

4,8877

6,3205

Два параметра

1,9729

2,2361

2,692

3,1621

3,8129

Вейбулла

Формы

3,5448

4,3493

5,7346

7,1286

8,9804

Масштаба

2,5565

3,0364

3,9180

4,8877

6,3205

Два параметра

1,9729

2,2361

2,692

3,1621

3,8129

Таблица А.13 - Аппроксимация предельных распределенийстатистики ω2 Мизеса при использовании метода максимальногоправдоподобия

Распределение случайной величины

При оценивании

только масштабного параметра

только параметра сдвига

двух параметров

Экспоненциальное

Su (-1,8734; 1,2118; 0,0223; 0,0240)

-

-

Полунормальное

Sl (0,9735; 1,1966; 0,1531; 0,0116)

-

-

Рэлея

Su (-1,5302; 1,0371; 0,0202; 0,0299)

-

-

Максвелла

Su (-2,0089; 1,2557; 0,0213; 0,0213)

-

-

Лапласа

Sl (1,0274; 1,0675; 0,2305; 0,0120)

Su (-2,0821; 1,2979; 0,0196; 0,0200)

Su (-1,6085; 1,2139; 0,0171; 0,0247)

Нормальное

Sl (1,2532; 1,0088; 0,3066; 0,0130)

ln N (-2,7500; 0,5649)

ln N (-2,9794; 0,5330)

Логнормальное

Sl (1,0341; 1,1919; 0,2491; 0,0035)

ln N (-2,7271; 0,6092)

Su (-1,6292; 1,1541; 0,0144; 0,0234)

Коши

Sl (1,0341; 1,1137; 0,2313; 0,0041)

Sl (1,1230; 1,2964; 0,1383; 0,0105)

Sl (1,2420; 1,2833; 0,1135; 0,0064)

Логистическое

Sl (1,0289; 1,0666; 0,2385; 0,0110)

Sl (1,3982; 1,3804; 0,1205; 0,0102)

ln N (-3,1416; 0,4989)

Наибольшего значения

Sl (1,0294; 1,0781; 0,2381; 0,0120)

ln N (-2,5818; 0,6410)

ln N (-2,9541; 0,5379)

Наименьшего значения

Sl (1,0294; 1,0781; 0,2381; 0,0120)

ln N (-2,5818; 0,6410)

ln N (-2,9541; 0,5379)

Вейбулла

Sl (1,0294; 1,0781; 0,2381; 0,0120)1)

ln N (-2,5818; 0,6410)2)

ln N (-2,9541; 0,5379)

1) Оценивали параметр формы распределения Вейбулла.

2) Оценивали параметр масштаба распределения Вейбулла.

Таблица А.14 - Процентные точки распределения статистикиω2 Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия

Распределение случайной величины

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

Экспоненциальное

Масштабный

0,1461

0,1738

0,2267

0,2872

0,3804

Полунормальное

Масштабный

0,1730

0,2097

0,2799

0,3607

0,4858

Рэлея

Масштабный

0,1490

0,1812

0,2452

0,3219

0,4458

Максвелла

Масштабный

0,1408

0,1669

0,2162

0,2720

0,3573

Лапласа

Масштабный

0,2672

0,3447

0,4572

0,5570

0,6608

Сдвиг

0,1276

0,1504

0,1932

0,2418

0,3173

Два параметра

0,0998

0,1171

0,1504

0,1893

0,2529

Нормальное

Масштабный

0,2470

0,3035

0,4128

0,5397

0,7382

Сдвиг

0,1148

0,1319

0,1619

0,1934

0,2379

Два параметра

0,0883

0,1006

0,1221

0,1445

0,1756

Логнормальное

Масштабный

0,2531

0,3101

0,4193

0,5452

0,7401

Сдвиг

0,1230

0,1428

0,1782

0,2159

0,2699

Два параметра

0,0952

0,1125

0,1458

0,1845

0,2449

Коши

Масштабный

0,2359

0,2929

0,4044

0,5353

0,7422

Сдвиг

0,1399

0,1668

0,2173

0,2743

0,3604

Два параметра

0,1031

0,1235

0,1618

0,2050

0,2706

Логистическое

Масштабный

0,2612

0,3257

0,4368

0,5392

0,7617

Сдвиг

0,1029

0,1209

0,1543

0,1912

0,2462

Два параметра

0,0725

0,0819

0,0982

0,1149

0,1379

Наибольшего значения

Масштабный

0,2628

0,3226

0,4266

0,5461

0,7174

Сдвиг

0,1470

0,1720

0,2171

0,2657

0,3360

Два параметра

0,0910

0,1039

0,1263

0,1496

0,1822

Наименьшего значения

Масштабный

0,2628

0,3226

0,4266

0,5461

0,7174

Сдвиг

0,1470

0,1720

0,2171

0,2657

0,3360

Два параметра

0,0910

0,1039

0,1263

0,1496

0,1822

Вейбулла

Формы

0,2628

0,3226

0,4266

0,5461

0,7174

Масштаба

0,1470

0,1720

0,2171

0,2657

0,3360

Два параметра

0,0910

0,1039

0,1263

0,1496

0,1822

Таблица А.15 - Аппроксимация предельных распределенийминимума статистики ω2 Мизеса (при использовании MD-оценок, минимизирующихстатистику Sω)

Распределение случайной величины

При оценивании

только масштабного параметра

только параметра сдвига

двух параметров

Экспоненциальное

Su (-1,9324; 1,1610; 0,0134; 0,0203)

-

-

Полунормальное

Su (-1,5024; 1,0991; 0,0173; 0,0256)

-

-

Рэлея

Su (-1,4705; 1,1006; 0,0164; 0,0259)

-

-

Максвелла

Su (-1,7706; 1,2978; 0,0188; 0,0220)

-

-

Лапласа

Sl (1,0117; 0,9485; 0,2162; 0,0137)

ln N (-2,8601; 0,5471)

ln N (-3,2853; 0,4666)

Нормальное

Sl (1,0477; 0,9883; 0,2356; 0,0112)

ln N (-2,8649; 0,5668)

ln N (-3,2715; 0,4645)

Логнормальное

Sl (1,0477; 0,9883; 0,2356; 0,0112)

ln N (-2,8649; 0,5668)

ln N (-3,2715; 0,4645)

Коши

Sl (1,2759; 1,0437; 0,2825; 0,0089)

ln N (-2,8577; 0,5739)

ln N (-3,2603; 0,4874)

Логистическое

Sl (1,0898; 1,0225; 0,2399; 0,0096)

ln N (-2,8831; 0,5367)

ln N (-3,2915; 0,4592)

Наибольшего значения

Sl (1,0771; 1,0388; 0,2065; 0,0109)

Su (-1,5348; 1,1226; 0,0166; 0,0252)

Su (-1,5326; 1,4446; 0,0147; 0,0188)

ln N (-3,2627; 0,4680)

Наименьшего значения

Sl (1,0771; 1,0388; 0,2065; 0,0109)

Su (-1,5348; 1,1226; 0,0166; 0,0252)

Su (-1,5326; 1,4446; 0,0147; 0,0188)

ln N (-3,2677; 0,4680)

Вейбулла

Sl (1,0771; 1,0388; 0,2065; 0,0109)1)

Su (-1,5348; 1,1226; 0,0166; 0,0252)2)

Su (-1,5326; 1,4446; 0,0147; 0,0188)

ln N (-3,2627; 0,4680)

1) Оценивали параметр формы распределения Вейбулла.

2) Оценивали параметр масштаба распределения Вейбулла.

Таблица А.16 - Процентные точки распределения минимумастатистики ω2 Мизеса (при использовании MD-оценок,минимизирующих статистику Sω)

Распределение случайной величины

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

Экспоненциальное

Масштабный

0,1062

0,1266

0,1659

0,2115

0,2826

Полунормальное

Масштабный

0,1119

0,1338

0,1767

0,2271

0,3071

Рэлея

Масштабный

0,1051

0,1252

0,1645

0,2107

0,2839

Максвелла

Масштабный

0,1027

0,1198

0,1520

0,1880

0,2425

Лапласа

Масштабный

0,2471

0,2994

0,4079

0,5035

0,6253

Сдвиг

0,1010

0,1154

0,1408

0,1673

0,2045

Два параметра

0,0607

0,0681

0,0806

0,0934

0,1108

Нормальное

Масштабный

0,2558

0,3120

0,4253

0,5524

0,6935

Сдвиг

0,1025

0,1178

0,1448

0,1731

0,2130

Два параметра

0,0614

0,0688

0,0815

0,0943

0,1118

Логнормальное

Масштабный

0,2558

0,3120

0,4253

0,5524

0,6935

Сдвиг

0,1025

0,1178

0,1448

0,1731

0,2130

Два параметра

0,0614

0,0688

0,0815

0,0943

0,1118

Коши

Масштабный

0,2376

0,2950

0,3924

0,5001

0,6886

Сдвиг

0,1040

0,1198

0,1475

0,1768

0,2181

Два параметра

0,0636

0,0717

0,0856

0,0998

0,1193

Логистическое

Масштабный

0,22605

0,3302

0,4450

0,57715

0,6941

Сдвиг

0,0976

0,1113

0,1353

0,1602

0,1950

Два параметра

0,0599

0,0670

0,0792

0,0915

0,1083

Наибольшего значения

Масштабный

0,2095

0,2623

0,3676

0,4940

0,6983

Сдвиг

0,1064

0,1265

0,1657

0,2115

0,2836

Два параметра

0,0611

0,0693

0,0843

0,1006

0,1246

Наименьшего значения

Масштабный

0,2095

0,2623

0,3676

0,4940

0,6983

Сдвиг

0,1064

0,1265

0,1657

0,2115

0,2836

Два параметра

0,0611

0,0693

0,0843

0,1006

0,1246

Вейбулла

Формы

0,2095

0,2623

0,3676

0,4940

0,6983

Масштаба

0,1064

0,1265

0,1657

0,2115

0,2836

Два параметра

0,0611

0,0693

0,0843

0,1006

0,1246

Таблица А.17 - Аппроксимация предельных распределенийстатистики Ω2 Мизеса при использовании метода максимальногоправдоподобия

Распределение случайной величины

При оценивании

только масштабного параметра

только параметра сдвига

двух параметров

Экспоненциальное

Su (-2,8653; 1,4220; 0,1050; 0,1128)

-

-

Полунормальное

Su (-2,5603; 1,3116; 0,1147; 0,1330)

-

-

Рэлея

Su (-2,5610; 1,4003; 0,1174; 0,1337)

-

-

Максвелла

Su (-2,6064; 1,4426; 0,1190; 0,1285)

-

-

Лапласа

Sl (0,3224; 1,1638; 0,6852; 0,1040)

Su (-2,5528; 1,4006; 0,1216; 0,1358)

Su (-2,8942; 1,4897; 0,0846; 0,1131)

Нормальное

Su (-3,1163; 1,1787; 0,0742; 0,1200)

Su (-3,1202; 1,5233; 0,0874; 0,1087)

Su (-2,7057; 1,7154; 0,1043; 0,0925)

Логнормальное

Su (-2,4168; 1,1296; 0,1151; 0,1560)

ln N (-0,8052; 0,5123)

Su (-2,3966; 1,5967; 0,1012; 0,1179)

Коши

Su (-2,4935; 1,0789; 0,0923; 0,1458)

Su (-2,8420; 1,3528; 0,1010; 0,1221)

Su (-2,3195; 1,1812; 0,0769; 0,1217)

Логистическое

Sl (0,3065; 1,1628; 0,7002; 0,0930)

Su (-3,5408; 1,6041; 0,0773; 0,0829)

ln N (-1,1452; 0,4426)

Наибольшего значения

Su (-2,5427; 1,1057; 0,0960; 0,1569)

Su (-2,5550; 1,3714; 0,1152; 0,1289)

Su (-2,4622; 1,6473; 0,1075; 0,1149)

Наименьшего значения

Su (-2,5427; 1,1057; 0,0960; 0,1569)

Su (-2,5550; 1,3714; 0,1152; 0,1289)

Su (-2,4622; 1,6473; 0,1075; 0,1149)

Вейбулла

Su (-2,5427; 1,1057; 0,0960; 0,1569)1)

Su (-2,5550; 1,3714; 0,1152; 0,1289)2)

Su (-2,4622; 1,6473; 0,1075; 0,1149)

1) Оценивали параметр формы распределения Вейбулла.

2) Оценивали параметр масштаба распределения Вейбулла.

Таблица А.18 - Процентные точки распределения статистики Ω2 Мизеса при использованииметода максимального правдоподобия

Распределение случайной величины

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

Экспоненциальное

Масштабный

0,9256

1,0797

1,3626

1,6736

2,1333

Полунормальное

Масштабный

1,0195

1,2030

1,5463

1,9312

2,5117

Рэлея

Масштабный

0,8954

1,0427

1,3140

1,6132

2,0569

Максвелла

Масштабный

0,8671

1,0055

1,2587

1,5360

1,9442

Лапласа

Масштабный

1,4627

1,7923

2,3158

2,8202

3,5035

Сдвиг

0,9196

1,0712

1,3504

1,6586

2,1165

Два параметра

0,7019

0,8082

1,0015

1,2116

1,5188

Нормальное

Масштабный

1,4126

1,7309

2,2533

2,8654

3,8453

Сдвиг

0,7750

0,8923

1,1045

1,3341

1,6681

Два параметра

0,5486

0,6204

0,7471

0,8806

1,0698

Логнормальное

Масштабный

1,4126

1,7309

2,2533

2,8654

3,8453

Сдвиг

0,7602

0,8619

1,0382

1,2200

1,4719

Два параметра

0,5464

0,6194

0,7498

0,8893

1,0897

Коши

Масштабный

1,3917

1,7432

2,2967

2,866

3,5085

Сдвиг

1,0072

1,1841

1,5125

1,8781

2,4251

Два параметра

0,7783

0,9307

1,2231

1,5606

2,0845

Логистическое

Масштабный

1,4097

1,7755

2,2268

2,8759

3,7694

Сдвиг

0,7512

0,8622

1,0611

1,2741

1,5803

Два параметра

0,5033

0,5610

0,6589

0,7575

0,8909

Наибольшего значения

Масштабный

1,4056

1,7163

2,2631

2,8443

3,6757

Сдвиг

0,9149

1,0703

1,3577

1,6764

2,1514

Два параметра

0,5580

0,6310

0,7608

0,8987

1,0956

Наименьшего значения

Масштабный

1,4056

1,7163

2,2631

2,8443

3,6757

Сдвиг

0,9149

1,0703

1,3577

1,6764

2,1514

Два параметра

0,5580

0,6310

0,7608

0,8987

1,0956

Вейбулла

Формы

1,4056

1,7163

2,2631

2,8443

3,6757

Масштаба

0,9149

1,0703

1,3577

1,6764

2,1514

Два параметра

0,5580

0,6310

0,7608

0,8987

1,0956

Таблица А.19 - Аппроксимация предельных распределений статистики Ω2 Мизеса (при использовании MD-оценок,минимизирующих статистику SΩ)

Распределение случайной величины

При оценивании

только масштабного параметра

только параметра сдвига

двух параметров

Экспоненциальное

Su (-2,6741; 1,4068; 0,0958; 0,1230)

-

-

Полунормальное

Su (-2,6752; 1,3763; 0,0952; 0,1280)

-

-

Рэлея

Su (-2,2734; 1,3473; 0,1101; 0,1496)

-

-

Максвелла

Su (-2,2759; 1,3988; 0,1171; 0,1514)

-

-

Лапласа

Su (-2,3884; 1,0811; 0,0948; 0,1548)

Su (-2,7267; 1,4972; 0,1044; 0,1239)

Su (-2,4334; 1,6104; 0,0902; 0,1123)

Нормальное

Su (-2,4180; 1,0702; 0,0957; 0,1464)

Su (-2,7639; 1,5393; 0,1102; 0,1115)

Su (-2,5746; 1,7505; 0,0979; 0,1043)

ln N (-1,1651; 0,4271)

Логнормальное

Su (-2,4180; 1,0702; 0,0957; 0,1464)

Su (-2,7639; 1,5393; 0,1102; 0,1115)

Su (-2,5746; 1,7505; 0,0979; 0,1043)

ln N (-1,1651; 0,4271)

Коши

Su (-2,5043; 1,1355; 0,1035; 0,1384)

Su (-2,7029; 1,5179; 0,1188; 0,1100)

Su (-2,1046; 1,4364; 0,0929; 0,1301)

ln N (-1,1043; 0,4692)

Логистическое

Sl (0,3223; 1,1159; 0,6836; 0,0953)

Su (-2,3007; 1,0135; 0,0906; 0,1593)

Su (-2,6212; 1,4318; 0,0932; 0,1370)

Su (-3,0152; 1,7751; 0,0800; 0,0898)

Наибольшего значения

Su (-2,4454; 1,1083; 0,0968; 0,1459)

Su (-2,6557; 1,4282; 0,1024; 0,1254)

Su (-2,1580; 1,5446; 0,0941; 0,1279)

Наименьшего значения

Su (-2,4454; 1,1083; 0,0968; 0,1459)

Su (-2,6557; 1,4282; 0,1024; 0,1254)

Su (-2,1580; 1,5446; 0,0941; 0,1279)

Вейбулла

Su (-2,4454; 1,1083; 0,0968; 0,1459)1)

Su (-2,6557; 1,4282; 0,1024; 0,1254)2)

Su (-2,1580; 1,5446; 0,0941; 0,1279)

1) Оценивали параметр формы распределения Вейбулла.

2) Оценивали параметр масштаба распределения Вейбулла.

Таблица А.20 - Процентные точки распределения минимумастатистики Ω2 Мизеса (при использовании MD-оценок, минимизирующихстатистику SΩ)

Распределение случайной величины

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

Экспоненциальное

Масштабный

0,7892

0,9172

1,1527

1,4122

1,7967

Полунормальное

Масштабный

0,8308

0,9690

1,2245

1,5075

1,9292

Рэлея

Масштабный

0,7871

0,9160

1,1553

1,4218

1,8206

Максвелла

Масштабный

0,7710

0,8916

1,1135

1,3582

1,7211

Лапласа

Масштабный

1,3751

1,6440

2,1787

2,6035

3,3197

Сдвиг

0,7642

0,8795

1,0888

1,3160

1,6476

Два параметра

0,4960

0,5607

0,6763

0,7996

0,9765

Нормальное

Масштабный

1,3994

1,7302

2,2526

2,8345

3,5978

Сдвиг

0,7575

0,8705

1,0745

1,2945

1,6137

Два параметра

0,4832

0,5419

0,6451

0,7534

0,9061

Логнормальное

Масштабный

1,3994

1,7302

2,2526

2,8345

3,5978

Сдвиг

0,7575

0,8705

1,0745

1,2945

1,6137

Два параметра

0,4832

0,5419

0,6451

0,7534

0,9061

Коши

Масштабный

1,3487

1,6287

2,0930

2,7014

3,4728

Сдвиг

0,8026

0,9257

1,1483

1,3893

1,7399

Два параметра

0,5386

0,6164

0,7586

0,9142

1,1435

Логистическое

Масштабный

1,3917

1,7101

2,3316

3,0612

4,2139

Сдвиг

0,7329

0,8454

1,0516

1,2778

1,6115

Два параметра

0,4778

0,5363

0,6392

0,7470

0,8986

Наибольшего значения

Масштабный

1,2638

1,5415

2,0840

2,7220

3,7319

Сдвиг

0,8007

0,9285

1,1628

1,4200

1,7997

Два параметра

0,4941

0,5590

0,6757

0,8014

0,9832

Наименьшего значения

Масштабный

1,2638

1,5415

2,0840

2,7220

3,7319

Сдвиг

0,8007

0,9285

1,1628

1,4200

1,7997

Два параметра

0,4941

0,5590

0,6757

0,8014

0,9832

Вейбулла

Формы

1,2638

1,5415

2,0840

2,7220

3,7319

Масштаба

0,8007

0,9285

1,1628

1,4200

1,7997

Два параметра

0,4941

0,5590

0,6757

0,8014

0,9832

Таблица А.21 - Аппроксимация предельных распределенийстатистики Колмогорова при использовании метода максимального правдоподобия ипроверке согласия с гамма-распределением

Значение параметра формы

При оценивании

только масштабного параметра

только параметра формы

двух параметров

0,3

Su (-3,1261; 2,4210; 0,2564; 0,3176)

Su (-2,5800; 2,3573; 0,2522; 0,3652)

Su (-2,4004; 2,2110; 0,2222; 0,3679)

0,5

γ (3,8019; 0,1122; 0,3426)

Su (-2,5116; 2,4317; 0,2624; 0,3737)

Su (-2,8715; 2,5280; 0,2325; 0,3296)

1,0

γ (4,4861; 0,0961; 0,3093)

γ (4,4582; 0,0888; 0,3178)

Su (-2,4192; 2,2314; 0,2037; 0,3707)

2,0

Su (-2,2691; 2,2383; 0,2323; 0,3958)

Su (-3,0644; 2,6833; 0,2531; 0,3159)

Su (-2,2110; 2,1457; 0,1988; 0,3872)

3,0

Su (-2,4869; 2,4779; 0,2655; 0,3742)

Su (-2,5510; 2,4430; 0,2430; 0,3640)

Su (-2,1298; 2,1802; 0,2103; 0,3897)

4,0

Su (-2,4229; 2,4457; 0,2627; 0,3696)

Su (-2,0448; 2,2821; 0,2494; 0,4140)

Su (-2,4946; 2,2762; 0,2023; 0,3589)

5,0

Su (-2,4152; 2,3901; 0,2475; 0,3818)

Su (-2,2143; 2,2844; 0,2367; 0,3932)

Su (-2,0501; 2,1119; 0,2016; 0,3985)

Таблица А.22 - Процентные точки распределения статистикиКолмогорова при использовании метода максимального правдоподобия и проверкегипотезы о согласии с гамма-распределением

Значение параметра формы

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

0,3

Масштабный

1,0101

1,0885

1,2196

1,3497

1,5231

Формы

0,9228

0,9895

1,1012

1,2120

1,3602

Два параметра

0,8702

0,9343

1,0424

1,1508

1,2970

0,5

Масштабный

0,9890

1,0625

1,1808

1,2927

1,4341

Формы

0,9076

0,9704