На главную
На главную

ГОСТ Р 50779.45-2002 «Статистические методы. Контрольные карты кумулятивных сумм. Основные положения»

Стандарт устанавливает основные принципы применения контрольных карт кумулятивных сумм, методы их построения, а также основные правила принятия решений.
Стандарт предназначен для управляющих на уровне цеха и служб управления качеством, технологов и мастеров, разрабатывающих конкретные процедуры и КУСУМ-карты с целью детального анализа и управления процессами на основе выбранных статистик.

Обозначение: ГОСТ Р 50779.45-2002
Название рус.: Статистические методы. Контрольные карты кумулятивных сумм. Основные положения
Статус: действующий (Введен впервые)
Дата актуализации текста: 01.10.2008
Дата добавления в базу: 01.02.2009
Дата введения в действие: 01.01.2003
Разработан: АО "НИЦ КД"
ТК 125 "Статистические методы в управлении качеством продукции"
Утвержден: Госстандарт России (03.04.2002)
Опубликован: ИПК Издательство стандартов № 2002

ГОСТ Р 50779.45-2002

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статистическиеметоды

КОНТРОЛЬНЫЕ КАРТЫКУМУЛЯТИВНЫХ СУММ

Основныеположения

ГОССТАНДАРТ РОССИИ

Москва

Предисловие

1 РАЗРАБОТАН И ВНЕСЕНТехническим комитетом по стандартизации ТК 125 «Статистические методы вуправлении качеством продукции»

Открытым акционерным обществом«Научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем» (АО«НИЦ КД»)

2 ПРИНЯТ И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ ПостановлениемГосстандарта России от 3 апреля 2002 г. № 124-ст

3 Настоящий стандарт разработан на основемеждународного технического отчета ИСО/ТО 7871-97 «Контрольные картыкумулятивных сумм. Руководство по управлению качеством и анализу данных с помощьюметода кумулятивных сумм»

4 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

СОДЕРЖАНИЕ

1 Область применения. 2

2 Нормативные ссылки. 2

3 Определения, обозначения и сокращения. 2

4 Основные положения. 3

5 Построение КУСУМ-карты.. 4

6 Правила принятия решений при мониторинге и управлении процессом.. 6

7 Правила принятия решения для анализа предыдущих данных. 7

8 Выполнение процедуры КУСУМ с помощью табличных данных. 8

Приложение А Масштабирование контрольной карты кумулятивных сумм.. 8

Приложение Б Вычисление локальных средних. 9

Приложение В Пример работы с усеченной V-маской. 11

Приложение Г Локальные разрешающие линии. 13

Приложение Д Библиография. 14

Введение

Контрольнаякарта кумулятивных сумм (далее КУСУМ-карта) - информативное графическоепредставление данных, которые упорядочены в логической последовательности. Длярасчета значений кумулятивных сумм используют случайные переменные или ихфункции. Часто их порядок соответствует порядку проведения наблюдений вовремени.

КУСУМ-картапредназначена для проверки процесса на отклонение чаще всего от среднегоарифметического значения (далее - среднего), равного некоторому опорномузначению. Опорное значение часто называют целевым значением или целью. Дляболее сложных процедур КУСУМ эти два понятия - целевое и опорное значенияследует различать. Из каждого полученного значения показателя качества вычитаютопорное значение и получают значения кумулятивных сумм этих разностей, которыенаносят на карту.

На такой картеинтерес представляют не абсолютные значения сумм, а угол наклона графика,определяемый по последовательным точкам. Именно угол наклона так называемых«локальных средних» служит мерой изменения случайной величины. Если локальноесреднее серии наблюдений более целевого значения, то кривая наклонена вверх,если менее - вниз. Чем больше угол наклона линии, представляющей локальноесреднее по отношению к целевому значению, тем больше отклонение данных отопорного значения.

КУСУМ-картыявляются одним из распространенных статистических методов обнаружения измененияпоказателя качества и установления причин этого изменения.

ГОСТ Р 50779.45-2002

ГОСУДАРСТВЕННЫЙСТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы

КОНТРОЛЬНЫЕ КАРТЫКУМУЛЯТИВНЫХ СУММ

Основные положения

Statistical methods. Cumulative sum control charts. General aspects

Дата введения 2003-01-01

1 Область применения

Настоящийстандарт устанавливает основные принципы применения контрольных карткумулятивных сумм (далее - КУСУМ-карт), методы их построения, а также основныеправила принятия решений.

Настоящийстандарт предназначен для управляющих на уровне цеха и служб управлениякачеством, технологов и мастеров, разрабатывающих конкретные процедуры иКУСУМ-карты с целью детального анализа и управления процессами на основевыбранных статистик.

2 Нормативные ссылки

В настоящемстандарте использованы ссылки на следующие стандарты:

ГОСТР 50779.10-2000 (ИСО 3534-1-93) Статистические методы. Вероятность и основыстатистики. Термины и определения

ГОСТР 50779.11-2000 (ИСО 3534-2-93) Статистические методы. Статистическоеуправление качеством. Термины и определения

ГОСТР 50779.21-96 Статистические методы. Правила определения и методы расчетастатистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальноераспределение

ГОСТР 50779.40-96 (ИСО 7870-93) Статистические методы. Контрольные карты. Общееруководство и введение

ГОСТР 50779.41-96 (ИСО 7873-93) Статистические методы. Контрольные карты дляарифметического среднего с предупреждающими границами

ГОСТ Р50779.42-99 (ИСО 8258-91) Статистические методы. Контрольные карты Шухарта

ГОСТР 50779.70-99 (ИСО 2859-0-95) Статистические методы. Процедуры выборочногоконтроля по альтернативному признаку. Часть 0. Введение в систему выборочногоконтроля по альтернативному признаку на основе приемлемого уровня качества AQL

ГОСТР 50779.71-99 (ИСО 2859-1-89) Статистические методы. Процедуры выборочногоконтроля по альтернативному признаку. Часть 1. Планы выборочного контроляпоследовательных партий на основе приемлемого уровня качества AQL

ГОСТ Р 51814.3-2001Системы качества в автомобилестроении. Методы статистического управленияпроцессами

3 Определения, обозначения исокращения

3.1 В настоящемстандарте применяются термины с соответствующими определениями по ГОСТР 50779.10, ГОСТР 50779.11.

3.2 В настоящемстандарте применяются следующие обозначения и сокращения:

i - текущий номер наблюдений; i = 0, 1, 2, ...;

А - масштаб вертикальной оси; А= a;

a - коэффициент масштаба;

s - стандартное отклонение;

 - оценка стандартногоотклонения;

уr - наблюдаемая переменная(показатель качества); r = 1, ..., i;

Ci - кумулятивная сумма;

 - среднее арифметическое;

Т - опорное (эталонное)значение;

f - коэффициент наклона (тангенс угла наклона разрешающей линии поотношению к горизонтальной оси на КУСУМ-карте);

H - интервал решений;

d - число выборочных интервалов;

s - выборочное стандартное отклонение;

Vmax - максимальная высота в критерии «перекрытий»;

ARL - средняя длина серии (выборок);

AQL - приемлемый уровень качества.

4 Основные положения

4.1 Методкумулятивных сумм служит визуальным средством обнаружения изменения показателякачества и последующего установления причин этого изменения.

4.2Основные требования по применению КУСУМ-карт следующие:

а) результатынаблюдения должны быть получены в такой форме, чтобы любая численная разностьмежду двумя значениями переменной имела одинаковую размерность по всемудиапазону данного показателя;

б)последовательность точек на карте должна подчиняться логике, основанной нанормальной работе процесса. Наблюдения могут быть проведены последовательно вовремени или в порядке поступления единиц продукции, образуя естественнуюпоследовательность, например наблюдение за показателем качества продукции илиуправлением процесса, а также упорядочены согласно значениям некоторойвспомогательной переменной. Тогда КУСУМ-карта - это метод исследованиясоотношений между значениями переменных.

4.3 Требования к данным

4.3.1КУСУМ-карты строят, используя два основных типа данных: количественные и альтернативные(ГОСТР 50779.40; ГОСТ Р 50779.42).

Количественныеданные - это результат наблюдений, проводимых с помощью измерения и записи численныхзначений данного показателя качества, рассматриваемых единиц выборки, чтопредполагает некоторую непрерывную шкалу для этого показателя.

Альтернативныеданные - это результаты наблюдений наличия (или отсутствия) определенногопризнака или атрибута для каждой рассматриваемой единицы выборки и подсчетачисла единиц выборки, имеющих (или не имеющих) данный признак, или числа такихпризнаков, имеющихся в единице продукции, группе, на данной площади, в данномобъеме или выборке.

Примечание - КУСУМ-карты на практике в основном применяют для количественныхданных.

4.3.2Данные, наносимые на карту, должны соответствовать требованиям перечислений а)и б) пункта 4.2.

Для работы сКУСУМ-картой используют кумулятивные (накопленные) суммы случайной переменнойили функции случайной переменной, начиная с некоторого момента времени либокакого-то события. Статистиками, значения которых накапливают, например, могутбыть:

1) значениепеременной (показателя качества);

2) разностьмежду измеренным значением переменной и ее математическим ожиданием;

3) разностьмежду измеренным значением переменной и некоторым целевым или опорнымзначением;

4)последовательные разности между значениями переменной или абсолютные значенияразностей;

5) выборочноесреднее;

6) размахвыборки.

При примененииКУСУМ-карты как средства реального представления данных необязательно указыватьраспределение вероятностей и требовать независимости между последовательныминаблюдениями. Эти условия важны для принятия решений, но не для представленияданных. КУСУМ-карта может помочь в выявлении свойств распределениявероятностей, таких как корреляция в серии или цикличное поведение.

4.4 Цель построенияконтрольной карты

При построенииконтрольной карты следует определить цель. На основе этого можно осуществлятьмониторинг и проводить анализ предыдущих данных процесса:

а) примониторинге: целью построения контрольной карты может быть отслеживаниеповедения серии наблюдений относительно некоторого установленного илистандартного опорного значения, как при процедурах управления качеством. Приэтом каждый раз средние уровни всех рассматриваемых интервалов сравнивают сопорным значением. Правила принятия решения при мониторинге приведены в разделе6;

б) при анализепредыдущих данных: целью построения контрольной карты может быть изучениенакопленных данных в результате наблюдений, сгруппированных некоторымлогическим образом, для обнаружения любых различий между группами точек. Приэтом рассматривают различия между соседними интервалами, которые могут служитьпредварительными данными для определения последующих интервалов; формальногостандартного или опорного значения здесь нет. В основном, базой для выбораинтервалов и оценивания точек, в которых происходят изменения, является видсамой КУСУМ-карты.

4.5 Правилапринятия решений применяют в зависимости от установленной цели, они основанына:

- простомпринятии решений, основанном на логике при визуальном контроле (по графику илипо табличным данным);

- выбореинтервала решения с использованием такой характеристики, как средняя длинасерии выборок (ARL);

- масках(полной V-маски, усеченной V-маски, параллельной маски идругих);

- критерии«перекрытий», основанном на построении на КУСУМ-карте.

Подробноеизложение правил принятия решений приведено в [1] - [4].

5 Построение КУСУМ-карты

5.1Вычисление значений кумулятивных сумм

Значениякумулятивных сумм Сi откладывают на оси ординатв зависимости от текущего номера наблюдений i, который принимаетпоследовательные целые значения i = 0, 1, 2, ... (0 - началокоординат). Устанавливают масштаб А вертикальной оси; по горизонтальнойоси один интервал соответствует значению А по шкале кумулятивных сумм(КУСУМ). Этот масштаб может быть выражен как кратное оценки стандартногоотклонения наносимых значений, тогда А = a,

где a - коэффициент масштаба в соответствии сприложением А,

- оценка стандартного отклонения а (определяется по ГОСТ Р 50779.42).

Каждоепоследующее наблюдение приводит к разности значения наблюдаемой переменной иопорного значения. Значения разностей суммируют, образуя кумулятивные суммы Сiпо формуле

,                                                                    (1)

где уr - значениенаблюдаемой переменной;

Т - опорное (или целевое)значение;

i - номер выборки.

Примечания

1 Кумулятивные суммы Сr могут быть рассчитаны и другими способами, взависимости от того, какая выбрана статистика:

а) для разности абсолютногозначения отклонения и его математического ожидания Е (за опорное значениеТ здесь принято среднее арифметическое значение наблюдаемых переменных ) по формуле

;                                                             (2)

б) для последовательных разностей по формуле

;                                                                             (3)

в) для отклонений абсолютного значения последовательных разностей от егоматематического ожидания по формуле

;                                                        (4)

г) для отклонений размаха Rrдвух последовательных пар наблюдений от егоматематического ожидания E{Rr} по формуле

.                                                                          (5)

Способы расчета кумулятивных сумм приведены в [2].

2 Иногда опорное значениеТ называют эталонным.

5.2 Выборопорного значения

Опорноезначение Т устанавливают в зависимости от конкретной ситуации и от типаданных, с которыми необходимо работать:

1) Приуправлении процессом. Во многих случаях Т - установленная цель илицелевой уровень показателя качества. На основе КУСУМ-карты получают информациюо неточной настройке процесса на Т. Иногда в качестве Т выбираютне целевое значение, а средний уровень показателя качества, рассчитанный попредыдущей серии данных, полученной при работе стабильного процесса.

2) При анализепредыдущих данных. При анализе серии накопленных данных целью является среднееарифметическое всей серии. Такой выбор Т приведет кривую КУСУМ к виду,когда начало и конец графика будут иметь одно и то же значение ординат.

3) Припланировании экспериментов. Двоичные данные последовательности, кодируемыечислами 0 и 1, требуют надлежащего оценивания доли откликов с кодом 1. Эту долюзатем используют как целевое значение. Можно использовать общую долю для всегоэксперимента или в случае последовательных экспериментов с двоичным откликомцель можно устанавливать на долю, рассчитанную по первому интервалуэксперимента. Позднее ее можно изменить, если она окажется неподходящей.

4) Привыборочном приемочном контроле, например при контроле по альтернативномупризнаку, в качестве целевого значения можно использовать долюнесоответствующих единиц продукции в выборке или приемлемый уровень качества AQL.Значения AQL устанавливают в нормативных документах или вконтракте (ГОСТР 50779.70; ГОСТР 50779.71). Целевое или опорное значение в этом случае - AQL.

5.3 Меры вариации

Основнаястатистическая мера вариации - выборочное стандартное отклонение s (оценкаs). Для масштабирования карты исоздания базы для критериев значимости необходима мера собственнойкратковременной вариации в серии. Оценка и расчет выборочного стандартногоотклонения s приведены в ГОСТР 50779.21.

Если такая меравариации, как оценка выборочного стандартного отклонения не подходит из-захарактера производственного процесса или выборочной процедуры, то вариациюможно оценить с помощью такой статистики, как размах выборки (ГОСТ Р 5077.42,ГОСТ Р 51814.3).

5.4 Предварительные шаги припостроении КУСУМ-карты

При построенииКУСУМ-карты необходимо сделать следующие предварительные шаги:

1) Взависимости от задачи выбрать надлежащее опорное или целевое значение изприведенных ниже:

а) центр полядопуска;

б)удовлетворительный уровень работоспособности процесса, который с разумнойвероятностью может быть достигнут;

в) среднийуровень процесса за предыдущий или типичный период времени или интервал;

г) среднийуровень всей серии результатов измерений переменной, когда предусмотрен анализпредыдущих данных.

Обоснованиевыбора опорного или целевого значения приведено в [3].

2) Выбратьподходящую меру вариации.

3) Выбратьмасштаб шкалы (приложение А).

4) Обучитьперсонал работе с КУСУМ-картой.

5.5 Необходимая информация

КУСУМ-картадолжна содержать следующую необходимую информацию:

а) целевоезначение (которое может сопровождаться кратким указанием причин его выбора,например установленное среднее арифметическое значение);

б) стандартноеотклонение значений переменной (которое может сопровождаться комментариями пометоду его оценки);

в) характернаблюдений (исходные значения, выборочные средние, число несоответствий ит.п.);

г)наименование, указывающее назначение карты (например «КУСУМ-карта дляуправления...» или «КУСУМ-карта для анализа предыдущих данных...»);

д) обозначениеосей;

е) возникающиеили вносимые изменения при работе процесса. Они могут быть помечены всоответствующих точках шкалы выборочных интервалов i для анализа кривой КУСУМ.Например, новая партия материала для производственного процесса, сменаперсонала или изменение методов работы.

5.6 Выбор начальной точкидля построения КУСУМ-карты

В большинствеслучаев для построения карты за начальную точку рекомендуется брать нуль свозможностью нанесения положительных и отрицательных значений КУСУМ. Выборначальной точки не влияет на последующий анализ данных. Если предпочтительнынеотрицательные значения, кривую можно начать строить с подходящего положительногозначения. Например, когда контрольная карта продолжает предыдущую или криваяКУСУМ выходит за верхнюю или нижнюю границы карты, рекомендуют начать новуюкарту (или интервал) со значения, соответствующего общему уровню процесса передокончанием ведения предыдущей карты (или интервала).

5.7 Вычислениелокальных средних проводят в соответствии с приложением Б.

6Правила принятия решений при мониторинге и управлении процессом

6.1 Примониторинге и управлении процессом процедура КУСУМ помогает решать две задачи:

- обнаружениезначимых сдвигов (изменений) процесса от целевого уровня;

- определениеточек их возникновения.

6.2 Правила принятия решений

Основное правилопринятия решений заключается в построении на КУСУМ-карте V-маскии определении значимых изменений при выходе точек кривой КУСУМ за линии V-маски.Существуют три различных формы масок, они идентичны по принципу построения идействию: полная V-маска, усеченная V-маска и параллельная маска.Наиболее распространенная из них - усеченная V-маска.

Схематическоеизображение усеченной V-маски или шаблона V-маскиприведено на рисунке 1. Отрезки АВ и АС называют интерваламирешений и обозначают Н, а линии BD, СЕ - разрешающими линиями.

Обозначения:

Н = АВ= АС = 5 - интервалы решений;
2H = DF = FE = 10;
d = 10 -число выборочных интервалов;
СЕ и BD - разрешающиелинии

Рисунок1 - Шаблон усеченной V-маски

Для удобстваработы на местах с КУСУМ-картой применяют шаблон V-маски, который можносделать из прозрачного пластика, плотной бумаги или пленки. На практике дляпостроения шаблона от оси AF, проходящей параллельно горизонтальнойоси КУСУМ-карты, откладывают отрезки Н = АБ = АС = 5, перпендикулярно AF. На расстоянии d= 10выборочных интервалов влево от точки А перпендикулярно оси AF откладываютотрезки FD = FE = 10. Значения 5 и 10 могут быть вычислены на основе значений  и масштабного множителя. Пояснения по выборумасштаба приведены в приложении А. Шаблон применяют, помещая опорную точку Ана любую нанесенную точку на контрольной карте. Рекомендуется выбиратьпоследнюю нанесенную на карту точку, но это может быть и точка в любомпредыдущем интервале. Если какая-либо из предшествовавших точек окажется вненаклонных разрешающих линий BD и СЕ (или ихпродолжений), то это сигнал о значимом отклонении процесса от целевогозначения. Если вся кривая КУСУМ находится между лучами, то существенного сдвиганет.

Пример работы сусеченной V-маской приведен в приложении В.

Расчет ипостроение локальных разрешающих линий изложены в приложении Б.

6.3 Чтобыопределить эффективность процедур принятия решений на основе V-масок,необходимо рассмотреть такую характеристику, как среднее число серии выборок (ARL). ARL -является случайной величиной и характеризует среднее число выборок, на основекоторого принимается решение о корректировке процесса при одном и том жесреднем значении контролируемого параметра процесса (ГОСТР 50779.41). Если не возникает реального изменения процесса, ARLдолжна быть большой и характеризовать среднее число сотен выборок, так каклюбые сигналы о выходе процесса из статистически управляемого состояния будуттогда ложными тревогами. Если возникает большой сдвиг от цели, рекомендуютназначать величину ARL малой для быстрого обнаружения изменения состоянияпроцесса. Взаимосвязь правил принятия решений и величины отклоненияконтролируемого параметра от цели можно представить кривой средней длины сериивыборок, дающей возможность сравнения правил принятия решений аналогичнооперативной характеристике для процедур выборочного контроля (ГОСТР 50779.70; ГОСТР 50779.71).

Примечание - Иногда вместо ARLприменяют другие характеристики, например такие, как мода или медиана длинысерии выборок.

Когдадействительное состояние процесса неудовлетворительно, правило принятия решениядолжно давать как можно более ранний сигнал об изменении процесса, то есть ARLдолжно быть малое, и наоборот.

Например:

Действительное состояние процесса                    СигналКУСУМ-карты

Нацели или около нее                                      БольшоеARL (мало ложных тревог)

Существенноеотклонение от цели                 Малое ARL (быстроеобнаружение)

При сравненииповедения ARL КУСУМ-карт и контрольных карт Шухарта ARLКУСУМ-карт более эффективны, а именно: ARL имеют большие значения дляпроцесса, находящегося на цели, и малые значения при значительном сдвигепроцесса от цели - при значении 1,0. Сравнительный анализ КУСУМ-карт и контрольных карт Шухартаприведен в [4].

7 Правила принятия решения дляанализа предыдущих данных

7.1 При анализеданных, полученных при проведении длинных серий наблюдений, могут бытьприменены несколько критериев по оценке различия данных между последовательнымиинтервалами. Одни из них - критерий «перекрытия».

Прирассмотрении КУСУМ-карты и анализе возможных точек изменения среднего уровняконтролируемой переменной основой разбиения на интервалы являются локальныемаксимумы и минимумы кривой. Критерий оценки значимости такого изменения -максимальная степень отклонения кривой КУСУМ от прямой, соединяющей крайние точкиграфика на интервале выборок, в котором подозревается изменение.

Для КУСУМ-картымаксимальную высоту Vmax, нормированную делением настандартное отклонение, определяют с помощью построения хорды АВ (см.рисунок 2),соединяющей точки графика в концах последовательности значений КУСУМ, иизмерением максимального вертикального расстояния CD от подозреваемой точки награфике до хорды. Этот максимум возникнет в видимой точке перегиба кривой (вмаксимуме или минимуме) или в точке, где наклон становится круче илисглаживается. Такие точки на графике называют «углами».

Обозначение:

CD = Vmax

m -интервал выборок

Рисунок2 - Применение критерия «перекрытий» к КУСУМ-карте (данные из таблицы В.1приложения В)

Если доступныисходные данные при вычислении КУСУМ, максимальную высоту Vmax можно вычислить по формуле

Vmax = Сr - Ci - (Cj - Ci), m = j- i,                                                 (6)

где r -          номер выборки,соответствующей точке возможного изменения в последовательности от i +1 до j (то есть i, r и j -последовательные «углы» КУСУМ-карты);

Сr, Сi,Сj - значения кумулятивных сумм в соответствующих точках r, i, j возможногоперегиба кривой КУСУМ;

m - интервал выборки; m = j - i.

Анализпревышения значения Vmax над перекрытием можнопроводить непосредственным измерением по карте, с помощью номограммы и подсчетавероятности превышения Vmax над перекрытием в соответствиис [1].

8 Выполнение процедуры КУСУМ спомощью табличных данных

В случае, еслицелью процедуры КУСУМ является обнаружение нестандартных состояний без представленияграфической зависимости последовательных данных, то значения каждой точкипоследовательности (во времени) можно представить в табличной форме. В этомслучае численное правило принятия решений заменяет правило принятия решений наоснове усеченной V-маски, как указано в [1].

ПРИЛОЖЕНИЕ А
(обязательное)

Масштабированиеконтрольной карты кумулятивных сумм

А.1 Соотношениемежду шкалами КУСУМ-карты, то есть значениями КУСУМ и номерами выборок определяетвид контрольной карты. Слишком широкое деление шкалы КУСУМ даст кривую в видепилы, на которой будет трудно обнаружить мелкие изменения, а большие сдвигисреднего быстро выведут кривую за пределы графика. Слишком узкое деление шкалыподавит малые вариации, но может также подавить реальные изменения среднегоарифметического измеряемых данных.

Широкоприменяют соотношение размера единицы шкалы КУСУМ примерно в 2 на один интервал выборки, то есть масштаб А = 2. Это соотношение можно применять в следующих трех случаях,приведенных в А.2,А.3,А.4.

А.2Выбирают удобный интервал шкалы для номеров выборок. Например, расстояние междувыборками с номерами i и i + 1; i + 1 и i + 2 и так далее 5 мм для настольной контрольной карты (1-2 см - длянастенной).

Интервал пошкале КУСУМ выбирают примерно 2 единиц измеряемой переменной. При десятичной сеткепредпочтительно округлить 2 до одного из целых чисел 1,0, 2,0, 4,0, 5,0 или другогократного им. Если 2 оказалось посредине между принятыми числами, предпочтительноменьшее. Если 2 соответствует 10 мм между номерами выборок по шкале i,надо взять10 мм = 5 единиц шкалы КУСУМ (а не 10 мм = 10 единиц шкалы КУСУМ).

А.3Выбирают удобную шкалу КУСУМ и затем принимают расстояние 2 за единицу шкалы i на один интервал выборки.

Это даетнебольшое преимущество сохранения точного соотношения 2. Например, изменение от горизонтального участка кривой КУСУМк участку под углом 45° представит сдвиг среднего на 2s единиц. При этом некоторые принимаемыерешения на основе КУСУМ-карты можно интерпретировать в углах (или ихтангенсах).

А.4Если для сравнения контрольных карт кумулятивных сумм двух или нескольких переменныхпри той же последовательности измеряемых переменных желательны одинаковыекоэффициенты шкал и равенство шкалы i, то можно применятьприведенную КУСУМ-карту. В этом случае вместо формулы  применяют формулу, в которойотклонения от цели делят на оценку стандартного отклонения :

.                                                                (А.1)

Эта процедураустанавливает  = 1, и единица шкалы iсоответствует двум единицам шкалы КУСУМ. В этом случае можно сравнивать разныеконтрольные карты наложением или совмещением.

Недостатокданной процедуры - потеря прямого контакта с рассматриваемой переменной. Крометого, операция по приведению значений переменных в нужный масштаб можетпривести к дополнительным трудностям.

А.5 При выборекоэффициента шкалы вид округления может влиять на выбор обоих коэффициентовшкал и сетки графика. Например, измерения в часах, месяцах, дюймах удобнеестроить на сетке, поделенной на 12 частей, а не на 10.

А.6 Двоичные данныеили счет событий, содержащие нули

Процедура КУСУМподходит и для счетных (альтернативных) данных, но при масштабировании могутвозникнуть трудности, когда данные двоичны (0 - отказ и 1 - успех) или содержатмного нулей (при контроле выборок на наличие несоответствующих единиц прихорошем качестве партий продукции). Эти трудности могут быть устранены выбороминтервала между точками выборок на горизонтальной оси КУСУМ-карты.

Нужнасоответствующая классификация ожидаемой доли р успехов или отказов (что изних реже) с баллом 1. В случае счета событий следует оценивать среднее числособытий (успехов или отказов) на выборку. Если оно больше единицы, особогомасштабирования не требуется и принимается обычное соотношение 2, где  - оценка стандартногоотклонения числа событий на выборку.

Для двоичногосчета или счета событий, появление которых в среднем меньше единицы на выборку:

а) вычисляютсреднее число выборок, необходимых для появления одного события или балла 1;

б) округляютэто значение до верхнего удобного для построения целого и принимают загоризонтальный интервал КУСУМ-карты. При малых р или низкой частотесобытий интервал между отдельными выборками может стать очень малым, однакоотдельные выборки содержат мало информации;

в) размечаютвертикальную шкалу КУСУМ-карты в интервалах той же длины, что и горизонтальную,помечают последовательные четные целые значения выше и ниже нуля;

г) значенияКУСУМ рассчитываются по формулам:

 - для двоичных данных,                               (А.2)

где р - частотаназначения балла 1;

уr- событие, r = 1, ..., i;

i - интервал

или

 - для малого числа событий,                          (А.3)

где m - среднее число событий навыборку.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б
(обязательное)

Вычислениелокальных средних

Б.1 ДостоинстваКУСУМ-карты - наглядность происходящих изменений среднего уровня процесса,представленного изменениями наклона кривой, и возможность вычисления локальныхсредних по любую сторону от точки предполагаемого изменения, что достигаетсябез пересчета исходных данных.

Б.2 Простойспособ приближенного оценивания локальных средних - помещение на картутранспортира. Любой наклон кривой КУСУМ можно сравнить с транспортиром иопределить наклон среднего уровня.

Транспортир(см. рисунок Б.1)содержит веер линий под углами, Соответствующими наклонам кривой КУСУМ длягипотетических значений средних уровней. При построении этих линий учитывают,что для каждого среднего уровня  кривая КУСУМ будетиметь средний наклон в ( - Т) единиц КУСУМ на выборочный интервал. Для выбора необходимыхзначений  часто достаточендиапазон Т ± 2s с разбивкой шкалы по 0,25 или 0,5.

Рисунок Б.1 - Построение транспортира КУСУМ(указателя наклона) (для ясности показана нетипично крупная шкала)

Для построениятранспортира проводят горизонтальную линию, параллельную оси абсцисс i,представляющую средний уровень (опорное значение) Т. Длина линиисоответствует 10 выборочным интервалам. Для каждого выбранного  отмечают пару точек, которыерасположены на 10 ( - Т) единиц КУСУМ справа выше и ниже линии,выбранной за опорную. Соединяют каждую правую точку с левым концом опорнойлинии и получают веер линий.

Примечание - При применении транспортира для оценивания локальных среднихзначений полезны кусок прозрачного материала или параллельно перемещающаясялинейка. Сам транспортир можно выполнить на прозрачном материале и накладыватьна интересующий интервал КУСУМ-карты.

Б.3 Болееточную оценку локального среднего можно получить по численным значениям КУСУМ вдвух точках последовательности. Эти значения считывают с контрольной карты илиберут прямо из вычисленных табличных значений КУСУМ, если они доступны.

Первый шаг -определение интервала, на котором требуется вычислить среднее. Например,среднее за неделю или месяц для отчетности или за определенный интервал времениможет указать на изменение условий в работе. В других случаях КУСУМ-карта можетвыявить точки возможного изменения как точки изменения наклона кривой КУСУМ(«углы»).

Первый ипоследний номера выборок в требуемом интервале обозначают i +1 и j. Тогда выборка с номером i - последняя точкапредыдущего интервала или 0 (для первого интервала). Любое изменение КУСУМ от Ci и Сi+1 вызвано вкладом yi+1 - первой точкирассматриваемого интервала, поэтому необходимы два значения КУСУМ - Сiи Сj.

Б.4 Среднееотклонение от опорного значения за интервал, то есть средний вклад значенийвыборки в КУСУМ, представляет собой изменение КУСУМ от Сiдо Сj, деленное на число значений в интервале.

Действительныйсредний уровень процесса  для интервалаполучают прибавлением опорного значения к среднему вкладу значений выборки вКУСУМ по формуле

 = T + ,                                                   (Б.1)

где Т - среднийуровень процесса или опорное значение;

Ci, Сj - значения кумулятивных сумм вточках i, j соответственно;

i, j - номера выборок.

КУСУМ-картасодержит всю требуемую информацию для этой оценки и не надо обращаться кисходным данным, если вид КУСУМ-карты не указывает на выброс особых значений.

ПРИЛОЖЕНИЕ В
(справочное)

Примерработы с усеченной V-маской

В.1 Отдельныенаблюдения были получены в указанном в таблице В.1 порядке, для которыхустановлено опорное значение Т, равное 15.

Таблица В.1 - Данные для построения КУСУМ-карты

Номер наблюдения*

Полученное значение

Отклонение от опорного значения Т, равного 15

Кумулятивная сумма отклонений

Номер наблюдения*

Полученное значение

Отклонение от опорного значения Т, равного 15

Кумулятивная сумма отклонений

1

12

-3

-3

18

12

-3

-22

2

17

+2

-1

19

13

-2

-24

3

14

-1

-2

20

16

+1

-23

4

14

-1

-3

21

12

-3

-26

5

17

+2

-1

22

18

+3

-23

6

16

+1

0

23

18

+3

-20

7

14

-1

-1

24

17

+2

-18

8

11

-4

-5

25

20

+5

-13

9

13

-2

-7

26

15

0

-13

10

14

-1

-8

27

14

-1

-14

11

15

0

-8

28

18

+3

-11

12

11

-4

-12

29

20

+5

-6

13

14

-1

-13

30

16

+1

-5

14

16

+1

-12

31

18

+3

-2

15

13

-2

-14

32

14

-1

-3

16

14

-1

-15

33

16

+1

-2

17

11

-4

-19

 

 

 

 

* Под наблюдением понимают любое значение характеристики выборки (см. 4.3.2 настоящего стандарта).

Для обычной контрольной карты значения, полученные врезультате наблюдений, строят в зависимости от их порядковых номеров. Но изтаблицы В.1видно, что последние двенадцать значений (графа 2) сгруппированы около другогосреднего уровня, чем первые двадцать.

КУСУМ-картадает более ясное представление о поведении данных, чем обычная контрольнаякарта Шухарта. Значения КУСУМ (графа 4) наносят на карту в зависимости отномеров наблюдений, причем по вертикальной оси у откладывают значенияКУСУМ, а по горизонтальной оси х - номера наблюдений (см. рисунок В.1).

Рисунок В.1 - КУСУМ-карта для данных таблицы В.1 (Т= 15)

КУСУМ-картуможно разделить на 3 части. Кривая КУСУМ параллельна оси х - то естьявляется горизонтальной для наблюдений 1-7 (включительно). Кривая идет вниз длянаблюдений 8-21 несмотря на локальные выбросы в точках 14, 20. Кривая идетвверх (так же с локальными выбросами) для наблюдений 22-23.

Можно сделатьследующие выводы:

а) наблюдения1-7 представляют выборку из совокупности со средним Т = 15;

б) наблюдения8-21 представляют выборку из совокупности, среднее которой менее 15;

в) наблюдения22-33 представляют выборку из совокупности, среднее которой более 15.

В.2 На рисункахВ.2и В.3представлен шаблон усеченной V-маски, примененный в двухточках карты для данных таблицы В.1 и рисунка В.1. Значение  предполагают равным2,0. При наложении шаблона на номер 16 эта кривая остается между лучами, иинтервал между номерами наблюдений 8 и 16 существенно не отличается от опорногозначения 15 (см. рисунок В.2). При наложении шаблона на номер 18 криваякасается верхней разрешающей линии, указывая, что к этому времени имеетсядостаточно информации о сдвиге от опорного значения вниз (см. рисунок В.3).

Рисунок В.2 - Шаблонусеченной V-маски, наложенный на КУСУМ-карту (нет указаний назначимый сдвиг при Т = 15,  = 2,0)

Рисунок В.3 - Шаблон усеченной V-маски,наложенный на КУСУМ-карту (имеется указание на значимый сдвиг при Т =15,  = 2)

Необходимыследующие пояснения к рисунку В.3:

а) верхняяразрешающая линия касается кривой с номерами наблюдений 6 и 7, что считаетсянарушением и дается сигнал о значимом сдвиге;

б) в точкекасания разрешающей линии необходимо принять решение о продлении луча шаблонаусеченной V-маски;

в) если шаблонусеченной V-маски передвинуть к любому номеру ранее точки 18,то сигнала не будет. Если же этот шаблон наложить на контрольную карту междуномерами наблюдений 18 и 21 (конец нисходящего интервала), то будет отмечензначимый сдвиг вниз. Повторное применение шаблона усеченной V-маскине отменяет предыдущий сигнал;

г) сигналвозникает при номере наблюдения 18. Для этой точки получено достаточноинформации, подтверждающей вывод об изменении среднего, но изменениепредположительно произошло несколько ранее. Анализ КУСУМ-карты показывает, чтопервыми наблюдениями, в которых среднее сместилось от цели, были точки 7 и 8;

д) аналогичноеприменение шаблона усеченной V-маски далее выявляетизменение направления кривой по отношению к нижнему лучу, указывающее на сдвигвверх к 29-й точке наблюдения;

е) в случаеуправления (корректировки) процесса после нанесения номера наблюдения 18 иполучения сигнала при наложении шаблона следует провести управляющее действие.Для определения правильной регулировки, рекомендуется провести оценку новогосреднего уровня у по формуле (Б.1):

С18= - 22, С6 = 0;

.

Если действияпо управлению отложены или неэффективны, то в случае необходимости эту оценкуможно пересчитать на более поздней стадии.

ПРИЛОЖЕНИЕ Г
(обязательное)

Локальные разрешающие линии

Г.1 Существуютдва метода применения правила принятия решения. Один метод - с применениемтабличных данных КУСУМ. Этот метод не предусматривает использования контрольнойкарты. Другой метод - с построением локальных разрешающих линий на контрольнойкарте. Этот метод применяют для принятия решения независимо от места появлениявозможного изменения. Последний метод имеет следующие преимущества: во-первых,нет необходимости строить постоянную V-маску; во-вторых,разрешающую линию можно проводить, когда наклон кривой КУСУМ подсказывает, чтовозможен сдвиг среднего уровня процесса. Решение не принимают, пока разрешающаялиния не коснется или не пересечет кривую КУСУМ, но когда кривая КУСУМприближается к линии решения, то можно сделать надлежащие превентивныедействия. Следует избегать излишних построений на карте, так как теряется еенаглядность.

Г.2 Еще одинметод использует то же построение, что при полной или усеченной V-маске.При этом необходимо контролировать кривую КУСУМ и отмечать точки возможныхизменений, что обычно соответствует локальным максимумам или минимумам кривой(см. рисунок В.1приложения В).Для номеров наблюдений 6 и 7 достигаются максимумы, для номера 21 - минимум.

Если неясно,какой из двух номеров наблюдений 6 или 7 использовать, применяют следующее правило:строят линию, нанося ее значение для номера i - 1, где Сiотличается от Сi-1 хотя бы на 2fse(где f - коэффициент наклона). Для данного правилапринятия решения f = 0,25, так что yiдолженотличаться от yi - 1 хотя бы на половину стандартной ошибки внаправлении вероятного изменения. В случае использования номеров наблюдений 6 и7 таблицы В.1(см. рисунок В.1)имеем:

С7 = - 1; С6= 0; 7 - С6)/ = - 1/2 (при  = 2).

Небольшойнаклон вниз от С7 к С6 дает основание дляпомещения разрешающей линии в точку наблюдения с номером наблюдения 6.

Г.3 При наличиивероятной точки изменения О проводят вертикальную линию ОА длиной5 в направлении (вверх или вниз) возможного сдвига среднего.Горизонтальную линию OD проводят из точки вероятногоизменения направо. В точке С, находящейся на расстоянии 10 номеровнаблюдений правее О, проводят вторую вертикальную линию СВ длиной10 от горизонтальной линии. Концы двух вертикальных линий,соединяясь, образуют разрешающую линию АВ, которую при необходимостиможно продлить вправо. Построение показано на рисунке Г.1.

Рисунок Г.1 - Построение локальной разрешающей линии

Для болееобщего вида имеем:

ОА = Н;

ОС = d выборочныхинтервалов;

СВ = 2H.

Коэффициентнаклона f прямой АВ рассчитывают по формуле

.

Построение на рисункеГ.1приведено для проверки смещения среднего уровня вверх. При подозрении насмещение среднего уровня вниз линии ОА и СВ проводят отгоризонтальной линии вниз.

Обычно длярасчетов приняты следующие значения: Н = 5, d = 10.

Г.4 Применениелокальной разрешающей линии показано на рисунке Г.2 для данных таблицы В.1приложения В.Линия, проходящая через точку, полученную для номера наблюдения 6, указывает наномер наблюдения 18, то есть туда, где есть смещение от цели вниз всоответствии с линиями усеченной V-маски.

Рисунок Г.2 - Локальнаяразрешающая линия, построенная на КУСУМ-карте = 15,  = 2)

ПРИЛОЖЕНИЕ Д
(справочное)

Библиография

1ИСО/ТО 7871-97 Контрольные карты кумулятивных сумм. Руководство по управлениюкачеством и анализу данных с помощью метода кумулятивных сумм

2Д. Химмельблау «Обнаружение и диагностика неполадок в химических инефтехимических процессах»: Пер. с англ. - М.: Химия, 1983

3Вл. Боровиков (Для профессионалов) Statistica «Искусство анализа данныхна компьютере». Изд-во «ПИТЕР». С.-Петербург, Москва, Харьков, Минск, 2001

4 Дж. Мердок «Контрольныекарты»: Пер. с англ. - М.: Финансы и статистика, 1986

Ключевые слова: контрольная карта, статистическоеуправление процессами, правила принятия решений, V-маска

Мне нравится
Комментировать Добавить в закладки

Комментарии могут оставлять только зарегистрированные пользователи.

Пожалуйста зарегистрируйтесь или авторизуйтесь на сайте.