Кто контролирует наличие и выдачу СИЗ?

Работодатель обязан организовать надлежащий учет и контроль за выдачей работникам СИЗ в установленные сроки.
(это значит, что работодатель должен распорядительным документом закрепить ответственного работника)

Выдача работникам и сдача ими СИЗ фиксируются записью в личной карточке учета выдачи СИЗ установленной формы.

СИЗ должны соответствовать полу, росту, размерам работника, а также характеру и условиям выполняемой ими работы.

Электронная форма должна соответствовать установленной форме. При этом в электронной форме личной карточки учета выдачи СИЗ вместо личной подписи работника указываются номер и дата документа бухгалтерского учета о получении СИЗ, на котором имеется личная подпись работника.

Это выдержки из Приказа от 1.06.09 г. № 290 н и ст. 221 ТК РФ

Все зависит от специфики вашего предприятия, от его штатной численности, структуры. У нас, например, этим занимается кладовщик сообща с руководителями структурных подразделений.